Signatur etc. von Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für zwei reelle (m [mm] \times [/mm] n)-Matrizen A und B sei [mm] f(A,B)=Tr(A^{T}B), [/mm] wobei [mm] A^{T} [/mm] die Transponierte von A und [mm] Tr(A^{T}B) [/mm] die Spur von [mm] A^{T}B [/mm] seien. Zeigen Sie, dass f eine symmetrische, nichtdegenierte Bilinearform auf dem Vektorraum der reellen (m [mm] \times [/mm] n)-Matrizen ist, und bestimmtn Sie ihre Signatur. |
Also, die Symmetrie krieg ich hin, dann hörts aber auchschon auf. Wie gehe ich das mit dem nichtdegeneriert an und vorallem: wie mache ich das mit der Signatur??? vielen dank im vorraus.....
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Hi
Setz doch mal in deine Bilinearform nacheinander immer Vektoren (mxn-Matrizen) der kanonischen Basis des reellen Vektorraums der mxn-Matrizen ein. Beziehungsweise multipliziere sie erst einmal nur, wie es die Bilinearform vorsieht (also ohne die Spur zu berechnen).
Du bekommst ne ganze Menge nxn-Matrizen, von denen du dir die Einträge ansehen soltest. Die haben nämlich immer nur in einem Eintrag eine 1 und ansonsten nur Nullen.
Solltest danach mal schauen was die Spur dann mit ihnen macht. (Da diese ja nur von Null verschieden sein kann, wenn überhaupt ein Element auf der Hauptdiagonalen verschieden von Null ist).
Noch ein Tipp: Du erhälst dann eine ziemlich schöne und einfache Grammatrix!
Die Signatur lässt sich von dieser sofort ablesen! (Da sie schon Diagonalgestalt hat!)
mfg dante
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