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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Signum der Permutation
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Signum der Permutation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Mo 07.12.2009
Autor: JanW1989

Aufgabe
Berechnen Sie das Signum [mm] sgn(\sigma) [/mm] der Permutation
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 8 & 2 & 7 & 6} [/mm]

Das Signum einer Permutation bezieht sich ja auf die Anzahl der Fehlstände, das heißt die Fälle in denen i < j und [mm] \sigma [/mm] (i) > [mm] \sigma [/mm] (j) ist.
Wenn ich jetzt in meinem Fall durchzähle komme ich auf 2 Fehlstände, in Spalte 1 und 5.
Nach Definition ist für eine gerade Anzahl an Fehlständen [mm] sgn(\sigma)=1, [/mm] also positiv. Nun ist es nur leider so, dass [mm] sgn(\sigma)=-1 [/mm] als Lösung angegeben ist.
Wo liegt mein Denkfehler, oder sollte es wirklich das erste Mal vorgekommen sein, dass die angegebene Lösung falsch ist ;)

Gruß,
Jan

        
Bezug
Signum der Permutation: andere Zählung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 07.12.2009
Autor: statler

Mahlzeit!

> Berechnen Sie das Signum [mm]sgn(\sigma)[/mm] der Permutation
>  [mm]\sigma[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 8 & 2 & 7 & 6}[/mm]
>  
> Das Signum einer Permutation bezieht sich ja auf die Anzahl
> der Fehlstände, das heißt die Fälle in denen i < j und
> [mm]\sigma[/mm] (i) > [mm]\sigma[/mm] (j) ist.
>  Wenn ich jetzt in meinem Fall durchzähle komme ich auf 2
> Fehlstände, in Spalte 1 und 5.

Ich komme auf viel mehr. Mach einfach eine Liste für alle Paare i < j und markier die, bei denen ein Fehlstand vorliegt.

>  Nach Definition ist für eine gerade Anzahl an
> Fehlständen [mm]sgn(\sigma)=1,[/mm] also positiv. Nun ist es nur
> leider so, dass [mm]sgn(\sigma)=-1[/mm] als Lösung angegeben ist.
>  Wo liegt mein Denkfehler, oder sollte es wirklich das
> erste Mal vorgekommen sein, dass die angegebene Lösung
> falsch ist ;)

Nach meiner Überschlagsrechnung ist die Lösung richtig. Ich kriege 28 Paare mit 11 Fehlständen (o. G.).

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
Signum der Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mi 09.12.2009
Autor: JanW1989

Hi,
danke für deine Antwort.
Ich hatte da was falsch verstanden, aber jetzt ist's mir klar ;)
Gruß, Jan

Bezug
        
Bezug
Signum der Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Mi 09.12.2009
Autor: ms2008de

Hallo,
> Berechnen Sie das Signum [mm]sgn(\sigma)[/mm] der Permutation
>  [mm]\sigma[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 8 & 2 & 7 & 6}[/mm]
>  

Man kann das Signum übrigens auch berechnen indem man die Permutation umschreibt als Verkettung von Transpositionen: So ist [mm] \sigma [/mm] = (1 4) (2 3)(3 5)(5 8)(8 6). Da jede Transposition Signum -1 hat, ist [mm] sgn(\sigma) [/mm] = [mm] (-1)^5 [/mm] =-1

Viele Grüße

Bezug
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