Silberner Schnitt/Kettenbruch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 05.07.2011 | | Autor: | ich89HD |
| Aufgabe | Analog zum goldenen Schnitt [mm] \phi [/mm] = [1,1,1,...] definieren wir für n [mm] \in \IN [/mm] die silbernen Schnitte S(n) := [n,n,n,...]
(a) Finden Sie eine geschlossene Formel für S(n) analog zu S(1) = [mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{1+\sqrt{5}}{2} [/mm] .
(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] (S(n))^3 [/mm] wieder ein silberner Schnitt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu (a) Hier habe ich S(n) = n + [mm] \bruch{1}{S(n)} [/mm] umgeformt zu S(n) = [mm] \bruch{n+\sqrt{n^2+4}}{2}. [/mm] Sollte auch soweit (hoffentlich) stimmen.
Jetzt mein Problem: wie gehe ich an die (b) ran?
Vermute, dass das stimmt.
[mm] (S(n))^3 [/mm] kann ich umformen zu [mm] \bruch{(n^3+3n)+\sqrt{n^2+4}(n^2+1)}{2}. [/mm] Aber damitt hab ich doch auch noch nix gewonnen, oder?
Habe auch keine Ahnung, wie ich darauf den Kettenbruchalgo. anwenden könnte um dann auf [m, m, m, ...] zu kommen...
Danke schonmal für eure Mühe.
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Wenn du dein Ergebnis aus a) hoch 3 nimmst, erhältst du - ausgerechnet und zusammengefasst:
[mm] \bruch{(4n^3+12n)+(4n^2+4)\wurzel{n^2+4}}{8}
[/mm]
(rechne nach)
jetzt kürzt du alles mit 4, quadrierst die 2. Klammer und ziehst sie dann mit unter die Wurzel als Faktor und rechnest den Term unter der Wurzel aus.
Kontrolle:
[mm] \bruch{(n^3+3n)+\wurzel{n^6+6n^4+9n^2+4}}{2}
[/mm]
Nun zeigst du, dass - wenn man die erste Klammer p nennt - man das Ganze als [mm] \bruch{p+\wurzel{p^2+4}}{2} [/mm] schreiben kann und somit ein Gebilde der Form Silberner Schnitt vorliegt.
(Genau genommen: Du hast nur gezeigt, dass ein Silberner Schnitt diese Form hat, müsstest jetzt noch zeigen, dass ein Ausdruck mit dieser Form ein Silberner Schnitt (p,p,p,p,...) ist.)
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