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Hi, die Simpson-Regel lautet wie folgt: [mm] x_{0} [/mm] ist die untere Grenze des Integrals und [mm] x_{n} [/mm] ist die obere Grenze des Integrals.
d= [mm] \bruch{x_{n}-x_{0}}{n}
[/mm]
A= [mm] \bruch{d}{3}*[f(x_{0})+f(x_{n})+2*(f(x_{2})+f(x_{4})+....+f(x_{n-2}))+ [/mm] 4*( [mm] f(x_{1})+f(x_{3})+...+f(x_{n-1}))]
[/mm]
Kann mir jemand etwas zu der Formel erzählen? Ich hab die Formel mal mit nem Beispiel gerechnet. Es kam in etwa das Integral heraus, jedoch ließ ich [mm] f(x_{n-2} [/mm] und das [mm] f(x_{n-1})) [/mm] von der Formel weg. Was bedeutet hier eigentlich [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}
[/mm]
Wenn ich z.B. die grenzen 1 und 9 habe und n=4 ist, dann ist d=2. Also muss ich für x folgende werte einsetzen: 1,3,5,7,9. Ist dann 3 immer [mm] x_{1}, [/mm] da [mm] x_{0}=1 [/mm] ist und 1+2=3 ?
? Weshalb werden gerade [mm] x_{n} [/mm] Werte mit 2, die ungeraden mit 4 multipliziert? Kann ich n beliebig wählen?
Was kann man noch mit der Simpson regel machen (also: Gibt es auch einen Fall, in dem nicht das integral, sondern nur punkte angegeben sind?)
Und weshalb wird d durch 3 geteilt?
Es genügen mir schon ein paar Antworten! Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
Es handelt sich um eine doppelte Anwendung der Trapezregel.
Es gilt doch nach Trapezregel
A [mm] \approx \bruch{d}{2}*(a_0 [/mm] + [mm] 2a_1 [/mm] + [mm] 2a_2 [/mm] + [mm] ...+2a_{n-1}+a_n).
[/mm]
Um den Bruch wegzubekommen, verdoppeln wir:
(1) 2*A [mm] \approx d*(a_0 [/mm] + [mm] 2a_1 [/mm] + [mm] 2a_2 [/mm] + [mm] ...+2a_{n-1}+a_n).
[/mm]
Man kann A auch anders abschätzen, wenn man nur jede zweite Stützstelle verwendet (und damit doppelt so breite Trapeze hat):
(2) A [mm] \approx d*(2a_1 [/mm] + [mm] 2a_3 [/mm] + [mm] ...+2a_{n-1}).
[/mm]
Addition der Gleichungen (1) und (2) liefert
3*A [mm] \approxd*( [/mm] ......) , wobei in der Klammer etwa die Hälfte der Summanden doppelt vorkommt, die andere Hälfte (mit den ungeraden Nummern) dagegen vierfach.
Division durch 3 führt zur Simpson-Regel.
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Kann mir jemand ein beispiel mit lösung zur simpson regel geben? Ich kenne die trapezregel leider genauso wenig!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
Trapezregel:
Skizziere dir irgenein Kurvenstück. Teile die Fläche darunter durch senkrechte Linien gleichen Abstands in mehrere schmale Streifen. Welche Form haben die? Fast wie Trapeze, denn sie haben jeweils zwei parallele Seiten. (Lediglich die krummlinige Begrenzung der oberen Seite ersetzen wir jeweils durch eine geradlinige Verbindung.
Jetz haben wir wirklich Trapete, und der Flächeninhalt unter dem gesamten Kurvenstück ist näherungsweise die Summe der Trapezflächen.
Die Streifenbreite sei d. Für das erste Trapez gilt dann
[mm] A_1=\bruch{f(x_0)+f(x_1)}{2}*d.
[/mm]
zweites Trapez:
[mm] A_2=\bruch{f(x_1)+f(x_2)}{2}*d.
[/mm]
...
letztes Trapez:
[mm] A_n=\bruch{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}*d.
[/mm]
Alle Funktionswerte im Inneren kommen insgesamt zweimal vor (mal als rechte und mal als linke Streifenbegrenzung).
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OK. Danke!
Ich nehme mir jetzt mal irgendein Integral und berechne es mit der Simpson regel
f(x)= [mm] 3x^2+4x
[/mm]
zwischen den grenzen: 2 und 8
ich teile das intervall in 4 teile:
d= 1,5
Also: [mm] \bruch{1,5}{3}*[f(2)+f(8)+2*(f(5))+4*(f(3,5)+f(6,5))]
[/mm]
[mm] \bruch{1,5}{3}*[12+224+2*(95)+4*(50,75+152,75))]= [/mm] 620
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> OK. Danke!
> Ich nehme mir jetzt mal irgendein Integral und berechne es
> mit der Simpson regel
> f(x)= [mm]3x^2+4x[/mm]
> zwischen den grenzen: 2 und 8
> ich teile das intervall in 4 teile:
> d= 1,5
>
> Also:
> [mm]\bruch{1,5}{3}*[f(2)+f(8)+2*(f(5))+4*(f(3,5)+f(6,5))][/mm]
>
> [mm]\bruch{1,5}{3}*[12+224+2*(95)+4*(50,75+152,75))]=[/mm] 620
> Ist das richtig?
Ich nehme es an. Mit Integralrechnung ermittelt sich der genaue Wert zu 624, da ist 620 mit den wenigen Stützstellen doch ein exzellenter Näherungswert
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Kannst du dir auch die Rechnung ansehen? Hab ich nichts ausgelassen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 14.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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