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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 So 07.02.2010 | | Autor: | Neun369 |
| Aufgabe | Für welches x sind die drei folgenden Gleichungen lösbar:
I: [mm] 3x\equiv [/mm] 12(8)
II: [mm] 2x\equiv [/mm] 4(18)
III: [mm] 35x\equiv [/mm] 10(30) |
Als erstes habe ich die Gleichungen vereinfacht:
I': [mm] x\equiv [/mm] 4(8)
II': [mm] x\equiv [/mm] 2(9)
III': [mm] x\equiv [/mm] 2(6)
Jetzt kann man II' und III' in eine Kongruenz überführen mittels dem [mm] kgV(m_{2},m_{3}) [/mm] und erhält das neue System:
I': [mm] x\equiv [/mm] 4(8)
II'': [mm] x\equiv [/mm] 2(18)
wie fahre ich jetzt fort, denn alle meine Lösungen ab hier sind bei der Probe falsch. Ist das System überhaupt lösbar?
Ich nehme an, dass dies nicht lösbar ist, aber ich kann es nicht mathematisch Begründen, vielleicht weil der ggT von den [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] aus I' II'' nicht größer als eins ist???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo 9369 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Für welches x sind die drei folgenden Gleichungen
> lösbar:
> I: [mm]3x\equiv[/mm] 12(8)
> II: [mm]2x\equiv[/mm] 4(18)
> III: [mm]35x\equiv[/mm] 10(30)
> Als erstes habe ich die Gleichungen vereinfacht:
>
> I': [mm]x\equiv[/mm] 4(8)
> II': [mm]x\equiv[/mm] 2(9)
> III': [mm]x\equiv[/mm] 2(6)
>
> Jetzt kann man II' und III' in eine Kongruenz überführen
> mittels dem [mm]kgV(m_{2},m_{3})[/mm] und erhält das neue System:
>
> I': [mm]x\equiv[/mm] 4(8)
> II'': [mm]x\equiv[/mm] 2(18) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie fahre ich jetzt fort, denn alle meine Lösungen ab hier
> sind bei der Probe falsch.
Dann rechne doch mal vor!
Die Reduktion ist richtig!
> Ist das System überhaupt lösbar?
Ja, denn [mm] $\operatorname{ggT}(8,18)=\red{2}$ [/mm] und $4 \ [mm] \equiv [/mm] \ 2 \ [mm] \mod{\red{2}}$
[/mm]
> Ich nehme an, dass dies nicht lösbar ist, aber ich kann
> es nicht mathematisch Begründen, vielleicht weil der ggT
> von den [mm]m_{1}[/mm] und [mm]m_{2}[/mm] aus I' II'' nicht größer als eins
> ist???
Doch, es ist lösbar.
Es gilt allg. (also auch für nicht teilerfremde Moduln $n,m$):
$x \ [mm] \equiv [/mm] \ a \ [mm] \mod{n}$
[/mm]
$x \ [mm] \equiv [/mm] \ b \ [mm] \mod{m}$
[/mm]
ist - falls lösbar - äquivalent zu der einfachen Kongruenz
$x \ [mm] \equiv [/mm] \ [mm] a-y\cdot{}n\cdot{}\frac{a-b}{d} [/mm] \ [mm] \mod{\frac{n\cdot{}m}{d}}$
[/mm]
wobei [mm] $d=\operatorname{ggT}(n,m)=y\cdot{}n+z \cdot{}m$ [/mm] (Euklid. Algor.) ist.
Dein reduziertes System ist lösbar - wie bereits erwähnt.
Berechne nun die Lösung...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 So 07.02.2010 | | Autor: | Neun369 |
Hi schachuzipus,
prima Formel! Danke
Wie siehts aus mit [mm] x\equiv [/mm] 20(72)?
Die Proben stimmen 
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
> prima Formel! Danke
> Wie siehts aus mit [mm]x\equiv[/mm] 20(72)?
Sieht sehr gut aus.
Du kannst simultane Kongruenzen auch online ![[]](/images/popup.gif) dort lösen lassen.
>
> Die Proben stimmen
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Neun369 |
Aaaa,
arndt bruenner.
Die Seite kenn ich, aber das habe ich noch nicht entdeckt.
Nochmals Danke,
Neun369
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