Singuläre Kohomologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 08.06.2012 | | Autor: | valoo |
Hallo, ich versuche gerade zu verstehen, warum singuläre Kohomologie unter bestimmten Voraussetzungen nichts anderes ist als Garbenkohomologie und mir kommen dabei ein paar Fragen auf.
Erstmal die Definition der singulären Kohomologie, die ich benutze:
X: topologischer Raum, A: abelsche Gruppe
$ [mm] S^{n}(X,A):= [/mm] Maps( C( [mm] \Delta^{n}, [/mm] X), A ) $
mit $ [mm] \Delta^{n} [/mm] $ : Standard-n-Simplex, C: stetige Abbildungen, Maps: alle Abbildungen
Korandabbildung:
$ [mm] d\alpha(\sigma) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n+1}(-1)^{i} \alpha(\sigma\circ \iota_{i} [/mm] )$ wobei [mm] \iota_{i} [/mm] kanonische Einbettungen sind, sodass grad der i-te Standardbasisvektor fehlt
Dann hat man einen Kokettenkomplex
0 [mm] \rightarrow S^{0}(X,A) \rightarrow S^{1}(X,A) \rightarrow [/mm] ...
Und die singuläre Kohomologie ist definiert als Kohomologie dieses Kokettenkomplexes. Das ganze geht auch lokal, die [mm] S^{n}(-,A) [/mm] sind Prägarben, aber keine Garben, aber man kann sie natürlich vergarben (Schnittgarbe des etalen Raumes): [mm] \tilde{S}^{n}(-,A)
[/mm]
Dann hat man eine Sequenz der globalen Schnitte dieser Garben und die Kohomologie soll die gleiche sein wie die singuläre Kohomologie. Doch das zu zeigen, scheint im Allgemeinen schwieriger als gedacht...jedenfalls versteh ich den Beweis ganz und garnicht
Wie auch immer, wenn ich annehme, dass jede offene Menge in X parakompakt ist, dann sind die kanonischen Prägarbenmorphismen von [mm] S^{n}(-,A) [/mm] zu [mm] \tilde{S}^{n}(-,a) [/mm] alle surjektiv, also auch surjektiv auf den globalen Schnitten, wenn sie nun auch injektiv sind, dann sind die Kohomologie mit Sicherheit gleich. Aber sind sie das nicht sogar? Ich meine, wenn man einen globalen Prägarbenschnitt nimmt, der 0 ist als Garbenschnitt, dann sind doch alle seine Keime 0, muss also selbst schon 0 gewesen sein.
Aber wenn ich so argumentiere, sollte das doch auch lokal klappen, dann wären die kanonischen Prägarbenmorphismen alle bijektiv, also hätte man schon Garben, was aber nicht der Fall ist... Ich bin verwirrt...Was ist an der Injektiv-Argumentation falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 10.06.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo valoo,
wieso soll noch gleich der kanonische Prägarbenmorphismus in die Garbifizierung surjektiv sein? Ich denke doch, daß die Injektivität klar ist (zumindest für nicht all zu verrückte Räume) und die Surjektivität zu zeigen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 So 10.06.2012 | | Autor: | valoo |
Na er ist nicht injektiv, weil in den Prägarben lokale Übereinstimmung nicht globale Übereinstimmung impliziert, weil es ja Simplizes gibt, die in keine Überdeckungsmenge ganz passen und man auf diesen beliebige Werte annehmen könnte...
Also ist der kanonische Prägarbenmorphismus auf jeden Fall nicht überall injektiv. Aber global?
Und surjektiv ist er, wenn ich annehme, dass jede offene Menge parakompakt ist (was man bei Mannigfaltigkeiten ja machen kann). Denn Schnitte der Prägarben lassen sich zumindest verkleben und dann folgt:
Wenn ich einen globalen Schnitt [mm] \sigma [/mm] der Schnittgarbe nehme, dann sind seine Bilder [mm] \sigma(x) [/mm] Keime an x. Es gibt also eine lokal endliche Überdeckung von X und Schnitte der Prägarbe, sodass ihre Keime die Bilder von [mm] \sigma [/mm] sind. Dann kann man ihre Definitionsmengen schrumpfen, sodas s man sie verkleben kann und schon hat man ein Urbild gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Di 12.06.2012 | | Autor: | cycore |
Ich bitte um Verzeiung, da war ich nun selbst verwirrt. In der Tat ist der kanonische Prägarbenmorphismus einer Prägarbe in ihre Vergarbung im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv (über jeder offenen Teilmenge), aber bei der ganzen Diskussion ist Vorsicht geboten. Verrückterweise, und das sieht man je nach Konstruktion mehr oder weniger leicht, sind die induzierten Morphismen der Halme überall isomorphismen. Aber das muss in diesem Fall eben nicht heißen, daß es bereits ein Isomorphismus von Prägarben ist.
Jetzt stolpere Ich aber schonwieder: Du sagst, in Prägarben könne man bereits zusammenkleben. Wie meinst du das? Für mich ist eine Prägarbe auf einem topologischen Raum eine Zuordnung [Offene Teilmengen des Raumes]->[Abelsche Gruppen] und Einschränkungsabbildungen, die miteinander verträglich sind (<-> Kozykelbedingung). Sowohl die Verklebbarkeit, als auch die Eindeutigkeit aus lokaler Gleichheit sind in jeder mir bekannten Literatur ausgezeichnet Garbeneigenschaften.
Gruß cycore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 12.06.2012 | | Autor: | valoo |
Na im Allgemeinen kann man in Prägarben auch nicht verkleben, aber hier kann man es...
Wenn man nämlich offene Mengen $ [mm] U_{i} [/mm] $ hat und kompatible Schnitte [mm] \alpha_{i}, [/mm] dann ordnet man jedem Simplex, der in mindestens einem der $ [mm] U_{i} [/mm] $ enthalten ist ein Gruppenelement zu, nun kann man die zu einem Schnitt über $ U:= [mm] \bigcup U_{i} [/mm] $ verkleben, indem man sagt, dass es einen Simplex [mm] \sigma, [/mm] der schon in einem [mm] U_{i} [/mm] enthalten ist auf [mm] \alpha_{i}(\sigma) [/mm] abbildet und wenn er in keines der [mm] U_{i} [/mm] ganz passt, dann ist das Gruppenelement, das man ihm zuordnet beliebig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mi 13.06.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo valoo,
es hat einen Moment gedauert, aber indirekt gibst du in deinem letzten Kommentar die Antwort.
Kurzum, zu deiner Argumentation zur Injektivität:
> [...] wenn man einen globalen Prägarbenschnitt
> nimmt, der 0 ist als Garbenschnitt, dann sind doch alle
> seine Keime 0, muss also selbst schon 0 gewesen sein.
> [...]
So kannst du nur schließen, wenn schnitte auf Überdeckungen eindeutig bestimmt sind, doch das sind sie (zunächst i.A.) nicht. Im vorliegenden Spezialfall nutze deine eigene Konstruktion zur Surjektivität, um einen Schnitt zu finden, der auf jedem [mm]U_i[/mm] einer Überdeckung (, also insbesondere in jedem Halm) verschwindet, aber nicht null ist.
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