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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 17.10.2015 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Moin, liebe Leute!
Es sei ein stationärer Prozess, so dass für jedes . Die Autokovarianzfunktion von ist definiert als
Weiter gelte für jedes .
Die folgende Aussage gibt einem Kriterien an die Hand, wann die Kovarianzmatrix nicht-singulär ist:
Wenn und für , dann ist die Kovarianzmatrix des Spaltenvektors für jedes nicht-singulär.
Man kann dies per Widerspruch beweisen, indem man annimmt, für ein $n$ sei [mm] $\Gamma_n$ [/mm] singulär und dies dann zum Widerspruch führt.
Der Beweis fängt so an:
Angenommen, dass für ein singulär ist. Da , existieren ein und reelle Konstanten , sodass nicht-singulär ist und
(Den weiteren Beweis lasse ich weg.)
Unklar ist mir, wie ich
$$
[mm] X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j
[/mm]
$$
bekomme. |
Also zunächst ist mir Folgendes klar:
Nimmt man an, dass [mm] $\Gamma_n$ [/mm] singulär ist, dann bedeutet das ja, dass die Determinante 0 ist. Das wiederum bedeutet, dass es mindestens eine Spalte (eine Reihe) gibt, die eine Linearkombination der anderen Spalten (Reihen) ist.
Entfernt man diese Spalte (Reihe), erhält man [mm] $\Gamma_{n-1}$ [/mm] und wenn die Determinante dieser Matrix wieder 0 ist, wiederholt man das Ganze.
Am Ende landet man bei einer Kovarianzmatrix [mm] $\Gamma_r$ [/mm] für ein [mm] $r\geq [/mm] 1$, dessen Spalten alle linear unabhängig sind, d.h. dessen Determinante nicht verschwindet. Somit ist [mm] $\Gamma_r$ [/mm] singulär.
Ok, soweit so gut.
Mir ist aber völlig schleierhaft, wie man nun auf die Darstellung
$$
[mm] X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j
[/mm]
$$
kommt.
________________
An der Stelle des Beweises wird auf die folgende Aussage verwiesen (was wohl heißt, dass man sie irgendwie benutzen kann/ soll, um diese Darstellung von [mm] $X_{r+1}$ [/mm] zu erhalten):
Ist ein Zufallsvektor mit Kovarianzmatrix , dann ist singulär genau dann, wenn es einen Vektor , , gibt, sodass .
Leider sehe ich aber nicht, wie und ob das weiter hilft.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Sa 17.10.2015 | | Autor: | dennis2 |
Hi,
[mm] $\Gamma_{r+1}$ [/mm] ist singuläre Kovarianzmatrix zu [mm] $X=(X_1,\ldots,X_{r+1})'$. [/mm] Aus der allerletzten Aussage deines Posts folgt, dass es einen Vektor [mm] $b=(b_1,\ldots,b_{r+1})'\in\mathbb{R}^{r+1}$ [/mm] gibt, s.d. [mm] $\mathbb{V}(b'X)=0$.
[/mm]
Was bedeutet es, dass $b'X$ Varianz 0 hat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 17.10.2015 | | Autor: | mikexx |
Wenn eine Zufallsvariable Varianz 0 hat, so ist die fast sicher identisch mit ihrem Erwartungswert.
Das heißt hier:
[mm] $b'X=\sum_{j=1}^{r+1}b_jX_j=E(b'X)=0$ [/mm] fast sicher
dh
[mm] $b_{r+1}X_{r+1}=-\sum_{j=1}^r b_jX_j$ [/mm] fast sicher
kann man jetzt durch [mm] $b_{r+1}$ [/mm] dividieren, dh ist [mm] $b_{r+1}>0$?
[/mm]
Wenn ja, hat man fast sicher
$$
[mm] X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j,~~~a_j=\frac{b_j}{b_{r+1}}.
[/mm]
$$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 17.10.2015 | | Autor: | dennis2 |
> Wenn eine Zufallsvariable Varianz 0 hat, so ist die fast
> sicher identisch mit ihrem Erwartungswert.
>
> Das heißt hier:
>
> [mm]b'X=\sum_{j=1}^{r+1}b_jX_j=E(b'X)=0[/mm] fast sicher
>
> dh
>
> [mm]b_{r+1}X_{r+1}=-\sum_{j=1}^r b_jX_j[/mm] fast sicher
>
Ja, so würde ich meinen.
> kann man jetzt durch [mm]b_{r+1}[/mm] dividieren, dh ist [mm]b_{r+1}>0[/mm]?
Damit man durch [mm] $b_{r+1}$ [/mm] dividieren kann, ist es ausreichend, dass [mm] $b_{r+1}\neq [/mm] 0$. Wieso willst du unbedingt haben, dass es positiv ist? Das ist hier nicht ersichtlich.
Dass [mm] $b_{r+1}\neq [/mm] 0$ aber schon. Denn angenommen, es wäre [mm] $b_{r+1}=0$. [/mm] Dann hätten wir [mm] $0=\mathbb{V}(\sum_{j=1}^{r+1}b_jX_j)=\mathbb{V}(\sum_{j=1}^{r}b_jX_j)$ [/mm] und somit nach dem von dir zitierten Satz, dass [mm] $\Gamma_r$ [/mm] singulär ist. [mm] $\Gamma_r$ [/mm] ist aber nicht-singulär. Also haben wir einen Widerspruch und somit [mm] $b_{r+1}\neq [/mm] 0$ (ob negativ oder positiv, ist hier egal). Du kannst also durch [mm] $b_{r+1}$ [/mm] dividieren.
> Wenn ja, hat man fast sicher
>
> [mm][/mm]
> [mm]X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j,~~~a_j=\frac{b_j}{b_{r+1}}.[/mm]
> [mm][/mm]
Nicht ganz, du hast das Minus vergessen:
[mm] $a_j=-\frac{b_j}{b_{r+1}}, 1\leq j\leq [/mm] r$
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