Singuläre und Zusammengesetzte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Yakup |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen ( einschließlich zusammengesetzter und singulärer Lösungen, falls vorhanden) der folgenden Differentialgleichungen:
a)
[mm] (y')^{2}-4*x*y'+4*y=0
[/mm]
b)
[mm] ((y'-1)*(x-y))^{2}=1-(y-x)^{2} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme.
Bei a) habe ich schon einen Ansatz.
Durch quadratische Ergenzung mit [mm] 4*x^{2}-4*x^{2} [/mm] konnte ich ein Teil der Gleichung vereinfachen [ [mm] (y'-2*x)^{2}-4*x^{2}+4*y=0 [/mm] ] aber weiter komme ich bei a) nicht und bei b) habe ich gar keine Idee :(
könnte mir vllt jemand etwas bei meinem Problem helfen?
Danke im VOrraus
Yakup
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Hallo Yakup,
> Bestimmen Sie alle Lösungen ( einschließlich
> zusammengesetzter und singulärer Lösungen, falls vorhanden)
> der folgenden Differentialgleichungen:
> a)
> [mm](y')^{2}-4*x*y'+4*y=0[/mm]
> b)
> [mm]((y'-1)*(x-y))^{2}=1-(y-x)^{2}[/mm]
> Hallo,
> ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme.
> Bei a) habe ich schon einen Ansatz.
> Durch quadratische Ergenzung mit [mm]4*x^{2}-4*x^{2}[/mm] konnte
> ich ein Teil der Gleichung vereinfachen [
> [mm](y'-2*x)^{2}-4*x^{2}+4*y=0[/mm] ] aber weiter komme ich bei a)
Nun, differenziere die angegebene DGL.
> nicht und bei b) habe ich gar keine Idee :(
Substituiere hier zunächst [mm]z\left(x\right)=\left(y-x\right)^{2}[/mm].
>
> könnte mir vllt jemand etwas bei meinem Problem helfen?
>
> Danke im VOrraus
>
> Yakup
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Yakup |
Mein Problem ist es eben, die Gleichung zu differenzieren. Ich weiß nicht, welche Methode ich anwenden soll.. aber schonmal danke bis hier hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Mein Problem ist es eben, die Gleichung zu differenzieren.
> Ich weiß nicht, welche Methode ich anwenden soll.. aber
> schonmal danke bis hier hin.
Implizite Differentiation.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 27.05.2009 | | Autor: | tedd |
Bei der a) habe ich folgenden ansatz:
$ [mm] (y')^2-4\cdot{}x\cdot{}y'+4\cdot{}y=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw y'=2\cdot{}x\pm\sqrt{4\cdot{}x^2-4\cdot{}y}=2\cdot{}x\pm2\cdot{}\sqrt{x^2-y} [/mm] $
$ [mm] u=x^2-y \gdw y=x^2-u \Rightarrow [/mm] $ y'=2*x-u'
Dann y'=y' gleichsetzen:
$ [mm] 2\cdot{}x-u'=2\cdot{}x\pm 2\cdot{}\sqrt{u} [/mm] $
$ [mm] \gdw -u'=\pm 2\cdot{}\sqrt{u} [/mm] $
$ [mm] \gdw u'=\mp 2\cdot{}\sqrt{u} [/mm] $
TDV:
$ [mm] \bruch{du}{dx}=\mp 2\cdot{}\sqrt{u} [/mm] $
$ [mm] \to \integral_{}^{}{u^{-\bruch{1}{2}} du}=\mp\integral_{}^{}{2 dx} [/mm] $
$ [mm] \to 2\cdot{}\sqrt{u}=\mp [/mm] $ (2*x+c)
$ [mm] \to \sqrt{u}=\mp [/mm] $ (x+c)
$ [mm] u=(\mp2\cdot{}(x+c))^2 $=(x+c)^2
[/mm]
Nur krieg ich dann die Probe schon wieder nicht vernünftig hin...
linke seite:
u'=2*(x+c)
rechte Seite:
[mm] \mp 2\cdot{}\sqrt{u}=\mp 2\cdot{}\pm(x+c)=-2*(x+c)
[/mm]
Also irgendwas stimmt da doch nicht....
Danke und Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Hallo tedd,
MathePower hat Euch doch schon einen Lösungsansatz gesagt:
[mm] $(y')^2-4xy'+4y=0$
[/mm]
$2y'y''-4y'-4xy''+4y'=0$
$2y'=4x$
[mm] $2\int\;dy=4\int x\dx$
[/mm]
[mm] $2y=2x^2+D$
[/mm]
[mm] $y=x^2+C$
[/mm]
LG, Martinius
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Hallo tedd,
da hast Du wohl MathePowers Lösungshinweis abermals überlesen!
Substitution (s.o.).
LG, Martinius
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Hallo tedd,
[mm] $[(y'-1)*(x-y)]^2=1-(x-y)^2$
[/mm]
z=x-y
y=x-z
$y'=1-z'$
[mm] $[-z'*z]^2=1-z^2$
[/mm]
[mm] $z'=\pm \frac{\wurzel{1-z^2}}{z}$
[/mm]
[mm] $-\int \pm\frac{-2z}{2\wurzel{1-z^2}}\;dz=\int \;dx$
[/mm]
[mm] $\pm\wurzel{1-z^2}=x+C$
[/mm]
[mm] $z=\pm \wurzel{1-(x+C)^2}$
[/mm]
[mm] $x-y=\pm \wurzel{1-(x+C)^2}$
[/mm]
[mm] $y=x\pm \wurzel{1-(x+C)^2}$
[/mm]
Gute Nacht,
Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Do 28.05.2009 | | Autor: | Martinius |
gelöscht
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
