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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Singulärwertz., Faktorisierung
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Singulärwertz., Faktorisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Mi 29.02.2012
Autor: paula_88

Aufgabe
Für die Matrix A ist eine Singulärwertzerlegung anzugeben.
[mm] A=\pmat{ 1 & \wurzel{3} \\ \wurzel{3} & -1 } [/mm]

Hallo an alle,
ich hatte bereits schon eine Singulärwertzerlegungsaufgabe im Forum besprochen und dachte eigentlich dass ich es verstanden hätte :-)

Zu der Aufgabe gab es einen Hinweis:
A hat die Faktorisierung
[mm] A=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }^{T} [/mm]

Ist die Faktorisierung was anderes als die Singulärwertzerlegung?

Ich habe [mm] AA^{T} [/mm] berechnet, was auch gleich [mm] A^{T}A [/mm] ist:
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm]

Die Eigenwerte dieses Produkts sind beide 3.

Berechnung Eigenvektoren:
[mm] (3-AA^{T})=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]
Heißt das, man kann beliebig Eigenvektoren bilden?
Z.B.: [mm] v_{1}=v_{2}=\vektor{1 \\ 1}?? [/mm]
Normiert wären die Vektoren somit [mm] v_{1}=v_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1} [/mm]

Somit wäre [mm] U=V=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm]

außerdem wäre [mm] S=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm]

Das gleicht alles so gar nicht der Faktorisierung und mein [mm] U^{T}SV\not=A [/mm]

Wo liegt mein Fehler bzw. was habe ich hier nicht kapiert? :-)

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mi 29.02.2012
Autor: fred97

Ist $T= [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] $, so gilt:

              Tx=3x  für jedes x [mm] \in \IR^2, [/mm]

also ist jedes (!) x [mm] \ne [/mm] 0 Eigenvektor von T.

FRED

Bezug
                
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mi 29.02.2012
Autor: paula_88

Vielen Dank für die Antwort, aber das hilft mir irgendwie nicht weiter :-S

> Ist [mm]T= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm], so gilt:
>  
> Tx=3x  für jedes x [mm]\in \IR^2,[/mm]
>  
> also ist jedes (!) x [mm]\ne[/mm] 0 Eigenvektor von T.

Damit sind meine Vektoren doch richtig, oder nicht?

>  
> FRED

Die restlichen Antworten sind leider noch offen :-)

Viele  Grüße


Bezug
                        
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo paula_88,

> Vielen Dank für die Antwort, aber das hilft mir irgendwie
> nicht weiter :-S
>  
> > Ist [mm]T= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm], so gilt:
>  >  
> > Tx=3x  für jedes x [mm]\in \IR^2,[/mm]
>  >  
> > also ist jedes (!) x [mm]\ne[/mm] 0 Eigenvektor von T.
>  
> Damit sind meine Vektoren doch richtig, oder nicht?
>  
> >  

> > FRED
>
> Die restlichen Antworten sind leider noch offen :-)
>  


Die Matrix [mm]AA^T[/mm] bzw. [mm]A^TA[/mm] ergeben sich doch zu

[mm]\pmat{\red{4} & 0 \\ 0 & \red{4}}[/mm]

Dessen Eigenvektoren die Einheitsvektoren sind.


> Viele  Grüße

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:52 Do 01.03.2012
Autor: paula_88

Hallo,

>
> Die Matrix [mm]AA^T[/mm] bzw. [mm]A^TA[/mm] ergeben sich doch zu
>  
> [mm]\pmat{\red{4} & 0 \\ 0 & \red{4}}[/mm]

Oh ja, stimmt, wie doof.
Dann ist die Matrix der Singulärwerte:
[mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]

(oder muss einmal die negative udn einmal die positive Wurzel gezogen werden Sprich einmal -2??)

>  
> Dessen Eigenvektoren die Einheitsvektoren sind.

Genau, das bleiben ja trotzdem die gleichen und wenn man die Einheitsvektoren dann normiert:
[mm] U=V=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm]


Dann verstehe ich immernoch nicht, wie man auf die Faktorisierung
[mm] A=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }^{T} [/mm] kommen soll!??? Bzw wieso diese als Hinweis angegeben ist.

Vielen Dank für eure Geduld :-)  


Bezug
                                        
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 03.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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