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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Singularität
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Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mi 06.01.2016
Autor: Reynir

Aufgabe
Bestimmen und klassifizieren Sie alle Singularitäten der Funktion [mm] $\frac{\cos(\pi z)}{(z-\frac{1}{2})^2}. [/mm]

Ich habe das soweit nachvollzogen, aber ich hätte jetzt getippt, dass bei [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ein Pol der Ordnung zwei liegt, aber das müsste laut der Lösung einer der Ordnung 1 sein, weil der cos hier auch eine Nullstelle hat.
Ich weis, dass es sich bei Polynomen kürzen lässt (blödes Beispiel $ [mm] \frac{(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}$), [/mm] aber hier sehe ich nicht, warum das gelten sollte.
Viele Grüße,
Reynir
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mi 06.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

[mm] $\cos(\pi [/mm] z)$ ist holomorph und damit als Potenzreihe darstellbar.
Überlege dir kurz, was die Eigenschaft, dass dort eine Nullstelle vorliegt für die Potenzreihe bedeutet und dann begründe, warum du kürzen kannst.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Fr 08.01.2016
Autor: Reynir

Danke für deine Hilfe. ;)
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
        
Bezug
Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Do 07.01.2016
Autor: fred97

$cos( [mm] \pi [/mm] z)$ hat in z=1/2 eine einfache Nullstelle (warum ?).

Somit gibt es eine ganze Funktion f mit

  
   $cos( [mm] \pi z)=(z-\bruch{1}{2})*f(z)$ [/mm]  für alle z [mm] \in \IC [/mm] und f(1/2) [mm] \ne [/mm] 0.

Damit haben wir

   $ [mm] \frac{\cos(\pi z)}{(z-\frac{1}{2})^2}= \frac{f(z)}{z-\frac{1}{2}}$ [/mm]

FRED
  

Bezug
                
Bezug
Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Fr 08.01.2016
Autor: Reynir

Hi,
ein Argument, das mir einfiele ist, dass mehrfache Nullstellen eines Polynoms auch Nullstellen von dessen Ableitung sind, entsprechend dann auch für Potenzreihen (das fände ich zumindest naheliegend). [mm] $\cos'=- \sin$ [/mm] und die Nullstellen des cos sind keine vom sin.
Was ist der Ansatz zu zeigen, dass es so eine ganze Funktion gibt? Einfach z-1 aus der Potenzreihendarstellung rausziehen?
Viele Grüße,
Reynir.

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Bezug
Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:37 Sa 09.01.2016
Autor: fred97


> Hi,
>  ein Argument, das mir einfiele ist, dass mehrfache
> Nullstellen eines Polynoms auch Nullstellen von dessen
> Ableitung sind, entsprechend dann auch für Potenzreihen
> (das fände ich zumindest naheliegend). [mm]\cos'=- \sin[/mm] und
> die Nullstellen des cos sind keine vom sin.

Ja


> Was ist der Ansatz zu zeigen, dass es so eine ganze
> Funktion gibt? Einfach z-1 aus der Potenzreihendarstellung
> rausziehen?

Allgemein:

ist g: [mm] \IC\to \IC [/mm] holomorph, [mm] z_0 \in \IC [/mm] und und [mm] g(z_0)=0 [/mm] und [mm] g'(z_0) \ne [/mm] 0, so sieht die Potenzreihenentwicklung von g um [mm] z_0 [/mm] so aus:

  [mm] g(z)=a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2 [/mm] + ....   für z [mm] \in \IC. [/mm]

Dabei ist [mm] a_1=g'(z_0) \ne [/mm] 0.

Setzt man [mm] f(z):=a_1+a_2(z-z_0)+ [/mm] ....   für z [mm] \in \IC, [/mm] so ist f eine ganze Funktion,

    [mm] g(z)=(z-z_0)f(z) [/mm]

und [mm] f(z_0)=a_1 \ne [/mm] 0.

FRED

>  Viele Grüße,
>  Reynir.


Bezug
                                
Bezug
Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Sa 09.01.2016
Autor: Reynir

Super, danke für deine Hilfe.

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