Singularität prüfen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 So 05.01.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | (i) Sei die lin. Abb. f: V → W injektiv (V, W VR über K). Zeige, dass f nichtsingulär
ist.
(ii) Sei die lin. Abb. f: V → W nichtsingulär, Zeige, dass f injektiv ist. |
| Aufgabe 2 | Prüfe folgende lin. Abbildungen auf Singularität:
(i)f(x,y):=(x-y, x-2y) wo f: [mm] R^2→ R^2 .
[/mm]
(ii) g(x,y):=(2x-4y,3x-6y) wo [mm] g:R^2 [/mm] → [mm] R^2
[/mm]
(iii) h(x,y,z):=(x+y-2z,x+2y+z,2x+2y-3z) wo h: [mm] R^3 [/mm] → [mm] R^3 [/mm] . |
Hi!
Also, alles, was wir über Singularitä aufgeschrieben haben, ist folgendes:
Eine lineare Abbildung f : V→ W, wo V und W Vektorräume über einem Körper K sind, nennt man genau dann singulär, falls es mindestens einen Vektor v≠ 0 aus V gibt, sodass f(v)=0 gilt. Andernfalls nennt man f nichtsingulär.
Bei Aufgabe 1 hätte ich folgende 2 Beweise:
i) f injektiv
f linear, also f(0) = 0
[mm] \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] V [mm] \not= [/mm] 0 : f(u) = 0?
wenn jetzt f singulär wäre, würde ein widerspruch entstehen, da
f(0) = f(u) aber 0 [mm] \not= [/mm] u
ii) hier habe ich nur hingeschrieben, dass es kein u gibt mit f(u) = 0
f linear, also f(0) = 0
f(0) [mm] \not= [/mm] f(u) [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V
0 [mm] \not= [/mm] u
also wäre f injektiv, oder?
Bei Aufgabe 2 weiß ich nicht wirklich, wie ich hier anfangen soll!
Kann ich die abbildung als matrix hinschreiben?
Dann wäre i):
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }, [/mm] wäre linear unabhänig.
Würde mich das weiterbringen??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 So 05.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Bei Aufgabe 1 hätte ich folgende 2 Beweise:
> i) f injektiv
> f linear, also f(0) = 0
>
> [mm]\exists[/mm] u [mm]\in[/mm] V [mm]\not=[/mm] 0 : f(u) = 0?
> wenn jetzt f singulär wäre, würde ein widerspruch
> entstehen, da
> f(0) = f(u) aber 0 [mm]\not=[/mm] u
>
> ii) hier habe ich nur hingeschrieben, dass es kein u gibt
> mit f(u) = 0
Du meinst : kein $ u [mm] \not= [/mm] 0 $
> f linear, also f(0) = 0
> f(0) [mm]\not=[/mm] f(u) [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V
> 0 [mm]\not=[/mm] u
>
> also wäre f injektiv, oder?
Das ist noch nicht gezeigt. Du hast nur nachgewiesen, dass u und 0 nicht dasselbe Bild haben können. Du musst aber zeigen, dass irgendwelche u und v nicht dasselbe Bild haben, also nicht nur den Fall v=0 abhandeln. Hinweis : Betrachte den Differenzvektor.
>
> Bei Aufgabe 2 weiß ich nicht wirklich, wie ich hier
> anfangen soll!
> Kann ich die abbildung als matrix hinschreiben?
>
Das ist immer möglich.
> Dann wäre i):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 },[/mm] wäre linear unabhänig.
Da fehlen ein paar Minus-Zeichen in der zweiten Spalte.
Was wäre linear unabhängig ?
> Würde mich das weiterbringen??
>
Ja, wenn ihr den entsprechenden Satz hattet.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 05.01.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Okay!
Zu aufgabe 1 ii):
da ja nur f(0) = 0 gilt, ist der kern von f = {0}
laut satz gilt: ker(f) = {0} bzw def(f) = 0 [mm] \gdw [/mm] f ist injektiv
reicht das jetzt für den beweis??
und zu 2:
sorry, hab wirklich die minuse vergessen!
Die matrix wäre dann:
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -2 }
[/mm]
die red. zsf würde so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
rang = 2, defekt = 0
linear unabhängig
sagt mir das etwas über die singularität aus??
haben dazu leider keinen satz aufgeschrieben... :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 So 05.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
zu i. :
Wenn du den Satz als Teil des Beweises zitierst, dann reicht es allerdings aus.
zu ii. :
Der entsprechende Satz ist der Dimensionssatz, der besagt, dass die Dimension von V gleich der Summe der Dimensionen der Vektorräume ker f (das ist der Kern von f und beinhaltet alle diejenigen Vektoren aus V, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden) und im f (das ist das Bild von f und beinhaltet alle diejenigen Vektoren w aus W, die als Bild eines Vektors v aus V auftreten : w=f(v), kurz im f = f(V)). Weiter ist der Rang der Abbildungsmatrix (Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren) gleich der Dimension von im f. (Der Rang ist übrigens auch gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.)
Wenn also der Rang deiner Matrix 2 ist und die Dimension von V auch 2 ist, dann bleibt für die Dimension von ker f nur 0 übrig, der Kern besteht also nur aus dem Nullvektor, f ist also nichtsingulär.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Mo 06.01.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Danke für den Hinweis!
Hätte jetz mit hilfe des dimensionssatzes folgende lösungen:
i) nichtsingulär, da die red zsf vollen rang besitzt
ii) singulär, weil die spaltenvektoren linear abhängig sind und ker(f) [mm] \not= [/mm] 0
gibt es hier ein beispiel, mit dem ich einfach zeigen kann, dass es einen vektor gibt, der auf den nullvektor abbildet??
iii) ebenfalls singulär, da die spaltenvektoren wieder linear abhängig sind und ker(f) [mm] \not= [/mm] 0 ist
korrekt??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Danke für den Hinweis!
>
> Hätte jetz mit hilfe des dimensionssatzes folgende
> lösungen:
>
> i) nichtsingulär, da die red zsf vollen rang besitzt
richtig.
>
> ii) singulär, weil die spaltenvektoren linear abhängig
> sind und deshalb ker(f) [mm]\not=[/mm] {0}
> gibt es hier ein beispiel, mit dem ich einfach zeigen
> kann, dass es einen vektor gibt, der auf den nullvektor
> abbildet??
Da hast du Subjekt und Objekt im Satz vertauscht. Die Abbildung f bildet ab, der gesuchte Vektor wird abgebildet.
Du findest so ein Beispiel, indem du dir Zahlen x und y ausdenkst, so dass sie nicht beide 0 sind, aber 2x-4y = 0 ist (3x-6y ist dann natürlich automatisch auch gleich 0).
>
> iii) ebenfalls singulär, da die spaltenvektoren wieder
> linear abhängig sind und ker(f) [mm]\not=[/mm] 0 ist
Die Spaltenvektoren sind nach meiner Rechnung linear unabhängig.
>
> korrekt??
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Mo 06.01.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Sei f: V -> W eine lineare Abbildung und habe der VR V endliche Dimension. Zeige, dass V und im(f) genau dann die gleiche Dimension besitzen, falls f nichtsingulär ist. |
| Aufgabe 2 | | Sei f: V -> W eine nichtsinguläre lineare Abbildung. Dann sind die Bilder linear unabhängiger Vektoren unter f stets linear unabhängig. Beweis |
Zu Aufgabe 1:
Hier habe ich wieder mit dem Dimensionssatz bewiesen
es gilt ja:
def(f) = dim(ker(f))
rg(f) = dim(im(f))
Da aber f nichtsingulär ist, bildet nur der nullvektor auf den nullvektor ab, also ist ker(f) = {0} --> dim(ker(f)) = 0
dim(V) = rg(f) + def(f) = dim(im(f)) + dim(ker(f)) = dim(im(f)) + 0 = dim(im(f))
[mm] \Box
[/mm]
Zu Aufgabe 2:
Hier wäre mein ansatz, dass, wenn nur der nullvektor auf den nullvektor abbildet, es auch keine LK der Spaltenvektoren des im(f) geben kann, die auf den nullvektor abbilden!
Kann man das so begründen??
Falls ja, kann man das irgendwie noch genauer ausformulieren?? ^^
danke schonmal im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei f: V -> W eine lineare Abbildung und habe der VR V
> endliche Dimension. Zeige, dass V und im(f) genau dann die
> gleiche Dimension besitzen, falls f nichtsingulär ist.
> Sei f: V -> W eine nichtsinguläre lineare Abbildung. Dann
> sind die Bilder linear unabhängiger Vektoren unter f stets
> linear unabhängig. Beweis
> Zu Aufgabe 1:
> Hier habe ich wieder mit dem Dimensionssatz bewiesen
> es gilt ja:
> def(f) = dim(ker(f))
> rg(f) = dim(im(f))
>
> Da aber f nichtsingulär ist, bildet nur der nullvektor auf
> den nullvektor ab, also ist ker(f) = {0} --> dim(ker(f)) =
> 0
>
> dim(V) = rg(f) + def(f) = dim(im(f)) + dim(ker(f)) =
> dim(im(f)) + 0 = dim(im(f))
>
> [mm]\Box[/mm]
>
Du hast nur eine Richtung der Behauptung bewiesen.
Du hast angefangen mit "Da aber f nichtsingulär ist" und dann dim(V) = dim (im(f)) gefolgert. Die Rückrichtung fehlt noch.
> Zu Aufgabe 2:
>
> Hier wäre mein ansatz, dass, wenn nur der nullvektor auf
> den nullvektor abbildet, es auch keine LK der
> Spaltenvektoren des im(f) geben kann, die auf den
> nullvektor abbilden!
> Kann man das so begründen??
Nein. Ich habe in dem anderen Kommentar schon die fehlerhafte Verwechslung von Subjekt und Objekt kritisiert, hier ist es noch schlimmer.
> Falls ja, kann man das irgendwie noch genauer
> ausformulieren?? ^^
>
> danke schonmal im voraus!
Du fängst mit einer Linearkombination [mm] a_1*w_1 [/mm] + ... + [mm] a_n*w_n [/mm] = 0 an, wobei die [mm] w_i [/mm] Bilder von Vektoren [mm] v_i [/mm] unter der Abbildung f sind : [mm] w_i [/mm] = [mm] f(v_i). [/mm] Unter Ausnutzung der Linearität von f, der Nichtsingularität von f und der linearen Unabhängigkeit der Vektoren [mm] v_i [/mm] (Hinweis : in dieser Reihenfolge) musst du dann beweisen, dass [mm] a_1 [/mm] = ... = [mm] a_n [/mm] = 0 gilt.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mo 06.01.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Zu Aufgabe 1:
die andere richtung wäre dann:
dim(V) = rg (f)
da laut dimensionssatz: dim (V) = rg(f) + def(f)
folgt def(f) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim(ker(f)) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] ker(f) = {0} [mm] \Rightarrow [/mm] f bildet nur den nullvektor auf den nullvektor ab (korrekt ausgedrückt??) [mm] \Rightarrow [/mm] f ist nichtsingulär
korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, so stimmt's.
Gruß Sax.
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