Singularität z/(exp(z)-1) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Master_X |
Hey ihr,
könnt ihr mir bitte helfen, die Singularitäten von g(z) = [mm] \bruch{z}{exp(z)-1} [/mm] zu bestimmen?
Bis jetzt habe ich:
z=0 ist eine Singularität. Wegen der der Periodizität von exp sollten dann auch alle anderen z = [mm] 2\pi [/mm] i k , [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] die selben Singularitäten haben.
Durch die Reihe von exp und Umformen komm ich auf:
g(z) = [mm] \frac{1}{\summe_{j=0}^{\infty} \frac{z^j}{(j+1)!}}
[/mm]
und ab da komm ich dann nicht mehr weiter. Ich bin aber ziemlich sicher, dass es ne Potenzreihe (Laurent Hauptteil 0) wird.
Schonmal Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey ihr,
> könnt ihr mir bitte helfen, die Singularitäten von g(z) =
> [mm]\bruch{z}{exp(z)-1}[/mm] zu bestimmen?
>
> Bis jetzt habe ich:
> z=0 ist eine Singularität. Wegen der der Periodizität von
> exp sollten dann auch alle anderen z = [mm]2\pi[/mm] i k , [mm]\forall[/mm] k
> [mm]\in \IZ[/mm] die selben Singularitäten haben.
>
> Durch die Reihe von exp und Umformen komm ich auf:
>
> g(z) = [mm]\frac{1}{\summe_{j=0}^{\infty} \frac{z^j}{(j+1)!}}[/mm]
>
> und ab da komm ich dann nicht mehr weiter. Ich bin aber
> ziemlich sicher, dass es ne Potenzreihe (Laurent Hauptteil
> 0) wird.
>
> Schonmal Danke im Voraus.
Betrachte mal
[mm]\bruch{exp(z)-1}{z}[/mm]
Es gilt [mm]\bruch{exp(z)-1}{z}[/mm] = [mm]\bruch{exp(z)-exp(0)}{z-0}[/mm] --> $f'(0) = 1$ (z--> 0),
wobei $f(z) = exp(z) $
Folglich: $ [mm] \bruch{z}{exp(z)-1} [/mm] $ --> 1 (z--> 0)
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat $ [mm] \bruch{z}{exp(z)-1} [/mm] $ in 0 eine hebbare Singularität
Sei nun k [mm] \not= [/mm] 0 und k [mm] \in \IZ
[/mm]
Dann: $| [mm] \bruch{z}{exp(z)-1}| [/mm] $ --> [mm] \infty [/mm] (z--> $2k [mm] \pi [/mm] i$)
Somit hat $ [mm] \bruch{z}{exp(z)-1} [/mm] $ in $2k [mm] \pi [/mm] i$ einen Pol
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Master_X |
Super, danke. Habs verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Prima
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Master_X |
>
> Dann: [mm]| \bruch{z}{exp(z)-1}|[/mm] --> [mm]\infty[/mm] (z--> [mm]2k \pi i[/mm])
>
> Somit hat [mm]\bruch{z}{exp(z)-1}[/mm] in [mm]2k \pi i[/mm] einen Pol
>
Kann (könnte) ich Pole immer so bestimmen?
Wenn ich das so mache, weiß ich auf jeden Fall, dass es keine hebbare Singularität ist. Könnte es aber auch eine Wesentliche sein? Wie sehen diese aus?
Ich soll noch die Singularitäten von [mm] \frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)} [/mm] bestimmen.
Mit der geometrischen Reihe kam ich darauf, dass bei 0 ne hebbare Singularität ist. Nur um das Zentrum -1 bekomm ich die Reihe irgendwie nicht entwickelt und würde das dann (wenn möglich) mit dem Grenzwert machen, da ich dort einen Pol vermute.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gilt für eine isolierte Singularität [mm] z_0 [/mm] von f:
f hat in [mm] z_0 [/mm] einen Pol [mm] \gdw [/mm] $|f(z)|$ --> [mm] \infty [/mm] für z--> [mm] z_0
[/mm]
(hattet Ihr diesen Satz ?)
Es gilt $ [mm] \frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)} [/mm] $ ---> 0 für z--> 0
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat $ [mm] \frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)} [/mm] $ in 0 eine hebbare Singularität
Weiter gilt: $ [mm] |\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}| [/mm] --> [mm] \infty [/mm] $ für z--> -1
Somit hat $ [mm] \frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)} [/mm] $ in -1 einen Pol.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Master_X |
> Es gilt für eine isolierte Singularität [mm]z_0[/mm] von f:
>
> f hat in [mm]z_0[/mm] einen Pol [mm]\gdw[/mm] [mm]|f(z)|[/mm] --> [mm]\infty[/mm] für z-->
> [mm]z_0[/mm]
>
> (hattet Ihr diesen Satz ?
Hatten wir noch nicht. Bringt mir aber Einiges.
> Es gilt [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm] ---> 0 für z--> 0
>
> Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm]
> in 0 eine hebbare Singularität
>
Hab das mit der geometrischen Reihe gemacht. War ein bisschen umständlich hat aber geklappt.
>
> Weiter gilt: [mm]|\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}| --> \infty [/mm]
> für z--> -1
>
> Somit hat [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm] in -1 einen Pol.
>
> FRED
Nochmal vielen Dank für deine Mühe. Hat mir Einiges an Rumrechnen erspart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es gilt für eine isolierte Singularität [mm]z_0[/mm] von f:
> >
> > f hat in [mm]z_0[/mm] einen Pol [mm]\gdw[/mm] [mm]|f(z)|[/mm] --> [mm]\infty[/mm] für z-->
> > [mm]z_0[/mm]
> >
> > (hattet Ihr diesen Satz ?
>
> Hatten wir noch nicht. Bringt mir aber Einiges.
>
>
>
> > Es gilt [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm] ---> 0 für z--> 0
> >
> > Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm]
> > in 0 eine hebbare Singularität
> >
> Hab das mit der geometrischen Reihe gemacht. War ein
> bisschen umständlich hat aber geklappt.
Das glaube ich nicht !!
FRED
>
> >
> > Weiter gilt: [mm]|\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}| --> \infty[/mm]
> > für z--> -1
> >
> > Somit hat [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm] in -1 einen Pol.
> >
> > FRED
>
>
> Nochmal vielen Dank für deine Mühe. Hat mir Einiges an
> Rumrechnen erspart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Master_X |
> > > Es gilt für eine isolierte Singularität [mm]z_0[/mm] von f:
> > >
> > > f hat in [mm]z_0[/mm] einen Pol [mm]\gdw[/mm] [mm]|f(z)|[/mm] --> [mm]\infty[/mm] für z-->
> > > [mm]z_0[/mm]
> > >
> > > (hattet Ihr diesen Satz ?
> >
> > Hatten wir noch nicht. Bringt mir aber Einiges.
> >
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> >
> > > Es gilt [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm] ---> 0 für z--> 0
> > >
> > > Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm]
> > > in 0 eine hebbare Singularität
> > >
> > Hab das mit der geometrischen Reihe gemacht. War ein
> > bisschen umständlich hat aber geklappt.
>
> Das glaube ich nicht !!
>
> FRED
Stimmt. Waren -ausführlich- zwei Umformungen. Habs mit ner anderen Rechnung von heut Mittag verwechselt.
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> > >
> > > Weiter gilt: [mm]|\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}| --> \infty[/mm]
> > > für z--> -1
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> > > Somit hat [mm]\frac{1- \cos(z)}{z^2(1+z)}[/mm] in -1 einen Pol.
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> > > FRED
> >
> >
> > Nochmal vielen Dank für deine Mühe. Hat mir Einiges an
> > Rumrechnen erspart.
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