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| Aufgabe | Bestimme alle Nullstellen mit Vielfachheit und alle isolierten Singularitäten mit Feststellung des Typs von f(z) in [mm] $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$
[/mm]
$f(z) = [mm] \frac{(z^{2}+9)^2}{(z^2 -1)(z+i)}$ [/mm] |
Hallo,
Also die Nullstellen bestimmen ist ja nicht schwer die sind [mm] $\pm [/mm] 3i$ mit VF = 2.
und Singularitäten treten an [mm] $\pm [/mm] 1$ und -i auf.
Aber zur Frage der Art : wie kann ich denn nun bestimmen ob es sich um eine
i) hebbare Sing.
ii) Polstelle
iii) wesentliche Sing.
handelt?
Lg Peter
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Hallo Peter_123,
> Bestimme alle Nullstellen mit Vielfachheit und alle
> isolierten Singularitäten mit Feststellung des Typs von
> f(z) in [mm]\mathbb{C} \cup \{\infty\}[/mm]
>
> [mm]f(z) = \frac{(z^{2}+9)^2}{(z^2 -1)(z+i)}[/mm]
> Hallo,
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> Also die Nullstellen bestimmen ist ja nicht schwer die sind
> [mm]\pm 3i[/mm] mit VF = 2.
>
> und Singularitäten treten an [mm]\pm 1[/mm] und -i auf.
>
> Aber zur Frage der Art : wie kann ich denn nun bestimmen ob
> es sich um eine
>
> i) hebbare Sing.
> ii) Polstelle
> iii) wesentliche Sing.
>
> handelt?
>
Das Stichwort hier lautet "Riemannscher Hebbarkeitssatz".
> Lg Peter
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Danke!
also muss ich für [mm] $\pm [/mm] 1$ und -i jeweils zeigen, dass f in Umgebungen dieser Punkte beschränkt ist?
LG
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Hallo Peter_123,
> Hallo MathePower,
>
> Danke!
>
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> also muss ich für [mm]\pm 1[/mm] und -i jeweils zeigen, dass f in
> Umgebungen dieser Punkte beschränkt ist?
>
Ja, das ist zu prüfen.
Ist das nicht der Fall, dann ist zu prüfen,ob es ein [mm[m [mm] \in \IN[/mm] [/mm] gibt,
so daß
[mm]\left(z-z_{0}\right)^{m}*f(z)[/mm]
beschränkt bleibt, wobei [mm]z_{0}[/mm] eine Nullstelle des Nenners von f(z) ist.
Ist dies möglich, dann handelt es sich um einen Pol m. Ordnung.
Ist dies nicht möglich, so handelt es sich um eine wesentliche SIngularität.
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Hallo Peter_123,
>
> > Hallo MathePower,
> >
> > Danke!
> >
> >
> > also muss ich für [mm]\pm 1[/mm] und -i jeweils zeigen, dass f in
> > Umgebungen dieser Punkte beschränkt ist?
> >
>
>
> Ja, das ist zu prüfen.
okay dann schau ich mir das einfach mal für die Stelle 1 an. Ich nehme mir eine Kugel mit Radius 1 um 1 her.
Also [mm] $\forall [/mm] z [mm] \in B_{1}(1)\backslash\{1\}$ [/mm] versuche ich
[mm] $\frac{(z^2 +9)^2}{(z^2-1)(1+i)}$ [/mm] nach oben abzuschätzen ... aber das gelingt mir doch nicht , oder ? für den Zähler ist es ja kein Problem, aber für den Nenner gelingt mir das ja nicht, da ja [mm] $\frac{1}{z^2-1}$ [/mm] für $z [mm] \to [/mm] 1$ [mm] $\ge \frac{1}{z^2}$ [/mm] Oder denke ich da falsch?
>
> Ist das nicht der Fall, dann ist zu prüfen,ob es ein [mm[m
> [mm]\in \IN[/mm][/mm] gibt,
> so daß
>
> [mm]\left(z-z_{0}\right)^{m}*f(z)[/mm]
>
> beschränkt bleibt, wobei [mm]z_{0}[/mm] eine Nullstelle des Nenners
> von f(z) ist.
>
> Ist dies möglich, dann handelt es sich um einen Pol m.
> Ordnung.
>
> Ist dies nicht möglich, so handelt es sich um eine
> wesentliche SIngularität.
>
>
> >
> > LG
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
LG
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Hallo Peter_123,
> Hallo MathePower,
>
> > Hallo Peter_123,
> >
> > > Hallo MathePower,
> > >
> > > Danke!
> > >
> > >
> > > also muss ich für [mm]\pm 1[/mm] und -i jeweils zeigen, dass f in
> > > Umgebungen dieser Punkte beschränkt ist?
> > >
> >
> >
> > Ja, das ist zu prüfen.
> okay dann schau ich mir das einfach mal für die Stelle 1
> an. Ich nehme mir eine Kugel mit Radius 1 um 1 her.
> Also [mm]\forall z \in B_{1}(1)\backslash\{1\}[/mm] versuche ich
>
> [mm]\frac{(z^2 +9)^2}{(z^2-1)(1+i)}[/mm] nach oben abzuschätzen ...
> aber das gelingt mir doch nicht , oder ? für den Zähler
> ist es ja kein Problem, aber für den Nenner gelingt mir
> das ja nicht, da ja [mm]\frac{1}{z^2-1}[/mm] für [mm]z \to 1[/mm] [mm]\ge \frac{1}{z^2}[/mm]
> Oder denke ich da falsch?
Es ist doch zu prüfen, ob
[mm]\blue{\left(z-1\right)^{m}}*\frac{(z^2 +9)^2}{(z^2-1)(z+i)}[/mm]
für ein kleinstes m beschränkt bleibt.
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> > Ist das nicht der Fall, dann ist zu prüfen,ob es ein [mm[m
> > [mm]\in \IN[/mm][/mm] gibt,
> > so daß
> >
> > [mm]\left(z-z_{0}\right)^{m}*f(z)[/mm]
> >
> > beschränkt bleibt, wobei [mm]z_{0}[/mm] eine Nullstelle des Nenners
> > von f(z) ist.
> >
> > Ist dies möglich, dann handelt es sich um einen Pol m.
> > Ordnung.
> >
> > Ist dies nicht möglich, so handelt es sich um eine
> > wesentliche SIngularität.
> >
> >
> > >
> > > LG
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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