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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:40 Di 19.01.2010 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Liegt für die folgenden Funktionen f im Nullpunkt eine hebbare Singularität/Nullstelle(welcher Ordnung)/Polstelle(welcher Ordnung)/wesentliche Singularität vor?
a) f(z) = [mm] \bruch{sin(z^3)}{e^{cos(z)-1}-1}
[/mm]
b) f(z) = z*log(z)
c) f(z) = [mm] z^{n}*e^{z+\bruch{1}{z}} [/mm] (für n [mm] \in \IN) [/mm] |
Hallo zusammen,
erstmal paar Definitionen, damit ihr auch wisst, wie wir die obigen Begriffe definiert haben:
(Singularitäten). Es sei D ⊂ [mm] \IC [/mm] offen und f : D → [mm] \IC [/mm] eine holomorphe Funktion.
Weiterhin sei z0 [mm] \in \IC\D [/mm] ein Punkt, so dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt mit [mm] U_{\varepsilon}(z0) [/mm] \ {z0} ⊂ D. Mit anderen
Worten ist z0 in einer Umgebung von z0 der einzige Punkt, der nicht in D liegt.
(a) In diesem Fall nennt man z0 eine (isolierte) Singularität von f .
(b) Lässt sich f zu einer holomorphen Funktion auf D∪{z0} fortsetzen, so bezeichnet man die isolierte Singularität z0 als hebbare Singularität.
(Arten von Singularitäten). Es sei D ⊂ [mm] \IC [/mm] offen, f : D → [mm] \IC [/mm] holomorph und z0 [mm] \in \IC\D [/mm] eine isolierte Singularität von f . Wir nehmen wieder an, dass f lokal um z0 nicht gleich der Nullfunktion ist. Ferner sei m = [mm] ord_{z0}(f) [/mm] .
(a) Ist m > 0, so heißt z0 eine Nullstelle der Ordnung m von f .
(b) Ist m < 0 und m [mm] \not= -\infty [/mm] so heißt z0 eine Polstelle der Ordnung −m von f .
(c) Ist m = [mm] -\infty, [/mm] so heißt z0 eine wesentliche Singularität von f .
Ok soviel erstmal dazu:
Jetzt was ich mir schon so überlegt habe:
zu b): Hier hab ich mir erstmal überlegt, dass der Log für 0 und kleiner ja gar nicht definiert ist somit ja eigentlich auch keine Singularität vorliegen kann. Aber ist das so einfach?
Ich hatte dann noch den Ansatz den Log mal in seiner Potenzreihe darzustellen und zu schauen ob er dann stetig fortsetzbar nach 0 ist. Dann müsste man ja auch eine hebbare Singularität kommen oder?
zu c) Hier hab ich auch was versucht und wollte jetzt mal wissen ob man das einfach so machen darf und zwar:
Ich hab f(z) einfach mal umgeschrieben als:
f(z) = [mm] z^{n}*e^{z}*e^{\bruch{1}{z}}
[/mm]
Jetzt verwende ich für die beiden e-Funktionen einfach mal ihre Potenzreihendarstellung:
= [mm] z^{n} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{{(\bruch{1}{z})}^n}{n!}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{{(\bruch{1}{z})}^n}{n!}
[/mm]
[mm] *z^{n} [/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}
[/mm]
Jetzt hier z=0 einsetzten:
= 1* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}
[/mm]
=1*e
Und somit wäre auch diese Singularität hebbar weil f nach null durch e fortsetzbar wäre.
Aber ich weiß nicht ob ich das wirklich alles so machen kann.
zu a): Hier häng ich noch am meisten und wäre für eure Hilfe sehr dankbar, weil ich gar nicht weiß was ich machen soll,also über einen Ansatz würde ich mich freuen!
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Di 19.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> Liegt für die folgenden Funktionen f im Nullpunkt eine
> hebbare Singularität/Nullstelle(welcher
> Ordnung)/Polstelle(welcher Ordnung)/wesentliche
> Singularität vor?
>
> a) f(z) = [mm]\bruch{sin(z^3)}{e^{cos(z)-1}-1}[/mm]
>
> b) f(z) = z*log(z)
>
> c) f(z) = [mm]z^{n}*e^{z+\bruch{1}{z}}[/mm] (für n [mm]\in \IN)[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> erstmal paar Definitionen, damit ihr auch wisst, wie wir
> die obigen Begriffe definiert haben:
>
> (Singularitäten). Es sei D ⊂ [mm]\IC[/mm] offen und f : D → [mm]\IC[/mm]
> eine holomorphe Funktion.
> Weiterhin sei z0 [mm]\in \IC\D[/mm] ein Punkt, so dass es ein
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt mit [mm]U_{\varepsilon}(z0)[/mm] \ {z0} ⊂
> D. Mit anderen
> Worten ist z0 in einer Umgebung von z0 der einzige Punkt,
> der nicht in D liegt.
>
> (a) In diesem Fall nennt man z0 eine (isolierte)
> Singularität von f .
> (b) Lässt sich f zu einer holomorphen Funktion auf
> D∪{z0} fortsetzen, so bezeichnet man die isolierte
> Singularität z0 als hebbare Singularität.
>
> (Arten von Singularitäten). Es sei D ⊂ [mm]\IC[/mm] offen, f : D
> → [mm]\IC[/mm] holomorph und z0 [mm]\in \IC\D[/mm] eine isolierte
> Singularität von f . Wir nehmen wieder an, dass f lokal um
> z0 nicht gleich der Nullfunktion ist. Ferner sei m =
> [mm]ord_{z0}(f)[/mm] .
Das versteh ich hier nicht ganz. Wie soll ord(f) denn definiert sein? Im normalfall macht man das über die Koeffizienten der Laurent-Reihe. D.h.
[mm] ord_{z0}(f):=inf \{ n \in \IZ ; a_n \not= 0 \} [/mm]
wobei [mm] a_n [/mm] die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind. Ist das eure Definition?
> (a) Ist m > 0, so heißt z0 eine Nullstelle der Ordnung m
> von f .
> (b) Ist m < 0 und m [mm]\not= -\infty[/mm] so heißt z0 eine
> Polstelle der Ordnung −m von f .
> (c) Ist m = [mm]-\infty,[/mm] so heißt z0 eine wesentliche
> Singularität von f .
>
> Ok soviel erstmal dazu:
>
> Jetzt was ich mir schon so überlegt habe:
>
> zu b): Hier hab ich mir erstmal überlegt, dass der Log
> für 0 und kleiner ja gar nicht definiert ist somit ja
> eigentlich auch keine Singularität vorliegen kann. Aber
> ist das so einfach?
Ja. Der Grund ist, dass der Logarithmus auf der gesamten negativen reellen Halbachse nicht definiert ist, man aber bloß dann von einer isolierten Singularität spricht, wenn die Funktion auf einer "gelochten" Kreisscheibe um diesen Punkt holomorph ist, was hier eben nicht der Fall ist.
> Ich hatte dann noch den Ansatz den Log mal in seiner
> Potenzreihe darzustellen und zu schauen ob er dann stetig
> fortsetzbar nach 0 ist. Dann müsste man ja auch eine
> hebbare Singularität kommen oder?
>
> zu c) Hier hab ich auch was versucht und wollte jetzt mal
> wissen ob man das einfach so machen darf und zwar:
>
> Ich hab f(z) einfach mal umgeschrieben als:
> f(z) = [mm]z^{n}*e^{z}*e^{\bruch{1}{z}}[/mm]
> Jetzt verwende ich für die beiden e-Funktionen einfach
> mal ihre Potenzreihendarstellung:
>
> = [mm]z^{n}[/mm] * [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{{(\bruch{1}{z})}^n}{n!}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{{(\bruch{1}{z})}^n}{n!}[/mm]
>
> [mm]*z^{n}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
>
> Jetzt hier z=0 einsetzten:
>
> = 1* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> =1*e
>
> Und somit wäre auch diese Singularität hebbar weil f nach
> null durch e fortsetzbar wäre.
> Aber ich weiß nicht ob ich das wirklich alles so machen
> kann.
>
Die Rechnung hier ist falsch. Beim Faktor [mm] z^n [/mm] wird das n natürlich festgehalten und hat nichts mit deinem n zu tun über das in der Exponential-Reihe summiert wird.
Außerdem ist das was du da aufgeschrieben hast keine Potenzreihe. Es existiert keine Potenzreihe in z, die zb die Funktion f(z)=exp(1/z) darstellt. Wohl aber eine Laurentreihe. Bilde diese für deine Funktion, und schau dir die Koeffizienten an.
> zu a): Hier häng ich noch am meisten und wäre für eure
> Hilfe sehr dankbar, weil ich gar nicht weiß was ich machen
> soll,also über einen Ansatz würde ich mich freuen!
>
Welche Vielfachheit hat die Nullstelle der Funktion die im Zähler bzw. im Nenner steht? Hattet ihr Sätze (reicht auch bloß einer ;)) in der Vorlesung, die es dir erlauben diese Information zu nutzen?
> Vielen Dank für die Hilfe!!!
>
> Grüße
>
>
Beste Grüße,
Doing
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Lati |
Hi,
danke erstmal für deine Antwort.
> Hallo!
>
> > Liegt für die folgenden Funktionen f im Nullpunkt eine
> > hebbare Singularität/Nullstelle(welcher
> > Ordnung)/Polstelle(welcher Ordnung)/wesentliche
> > Singularität vor?
> >
> > a) f(z) = [mm]\bruch{sin(z^3)}{e^{cos(z)-1}-1}[/mm]
> >
> > b) f(z) = z*log(z)
> >
> > c) f(z) = [mm]z^{n}*e^{z+\bruch{1}{z}}[/mm] (für n [mm]\in \IN)[/mm]
> >
> Hallo
> > zusammen,
> >
> > erstmal paar Definitionen, damit ihr auch wisst, wie wir
> > die obigen Begriffe definiert haben:
> >
> > (Singularitäten). Es sei D ⊂ [mm]\IC[/mm] offen und f : D → [mm]\IC[/mm]
> > eine holomorphe Funktion.
> > Weiterhin sei z0 [mm]\in \IC\D[/mm] ein Punkt, so dass es ein
> > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt mit [mm]U_{\varepsilon}(z0)[/mm] \ {z0} ⊂
> > D. Mit anderen
> > Worten ist z0 in einer Umgebung von z0 der einzige
> Punkt,
> > der nicht in D liegt.
> >
> > (a) In diesem Fall nennt man z0 eine (isolierte)
> > Singularität von f .
> > (b) Lässt sich f zu einer holomorphen Funktion auf
> > D∪{z0} fortsetzen, so bezeichnet man die isolierte
> > Singularität z0 als hebbare Singularität.
> >
> > (Arten von Singularitäten). Es sei D ⊂ [mm]\IC[/mm] offen, f : D
> > → [mm]\IC[/mm] holomorph und z0 [mm]\in \IC\D[/mm] eine isolierte
> > Singularität von f . Wir nehmen wieder an, dass f lokal um
> > z0 nicht gleich der Nullfunktion ist. Ferner sei m =
> > [mm]ord_{z0}(f)[/mm] .
> Das versteh ich hier nicht ganz. Wie soll ord(f) denn
> definiert sein? Im normalfall macht man das über die
> Koeffizienten der Laurent-Reihe. D.h.
> [mm]ord_{z0}(f):=inf \{ n \in \IZ ; a_n \not= 0 \}[/mm]
> wobei [mm]a_n[/mm] die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind. Ist das
> eure Definition?
Ja genau so hatten wir die Ordnung definiert.
>
> > (a) Ist m > 0, so heißt z0 eine Nullstelle der Ordnung m
> > von f .
> > (b) Ist m < 0 und m [mm]\not= -\infty[/mm] so heißt z0 eine
> > Polstelle der Ordnung −m von f .
> > (c) Ist m = [mm]-\infty,[/mm] so heißt z0 eine wesentliche
> > Singularität von f .
> >
> > Ok soviel erstmal dazu:
> >
> > Jetzt was ich mir schon so überlegt habe:
> >
> > zu b): Hier hab ich mir erstmal überlegt, dass der Log
> > für 0 und kleiner ja gar nicht definiert ist somit ja
> > eigentlich auch keine Singularität vorliegen kann. Aber
> > ist das so einfach?
> Ja. Der Grund ist, dass der Logarithmus auf der gesamten
> negativen reellen Halbachse nicht definiert ist, man aber
> bloß dann von einer isolierten Singularität spricht, wenn
> die Funktion auf einer "gelochten" Kreisscheibe um diesen
> Punkt holomorph ist, was hier eben nicht der Fall ist.
Ok gut,das ist ja schonmal was.
>
> > Ich hatte dann noch den Ansatz den Log mal in seiner
> > Potenzreihe darzustellen und zu schauen ob er dann stetig
> > fortsetzbar nach 0 ist. Dann müsste man ja auch eine
> > hebbare Singularität kommen oder?
> >
> > zu c) Hier hab ich auch was versucht und wollte jetzt mal
> > wissen ob man das einfach so machen darf und zwar:
> >
> > Ich hab f(z) einfach mal umgeschrieben als:
> > f(z) = [mm]z^{n}*e^{z}*e^{\bruch{1}{z}}[/mm]
> > Jetzt verwende ich für die beiden e-Funktionen einfach
> > mal ihre Potenzreihendarstellung:
> >
> > = [mm]z^{n}[/mm] * [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!}[/mm] *
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{{(\bruch{1}{z})}^n}{n!}[/mm]
> >
> > [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!}[/mm] *
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{{(\bruch{1}{z})}^n}{n!}[/mm]
> >
>
> > [mm]*z^{n}[/mm]
> > = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n!}[/mm] *
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> >
> > Jetzt hier z=0 einsetzten:
> >
> > = 1* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> > =1*e
> >
> > Und somit wäre auch diese Singularität hebbar weil f nach
> > null durch e fortsetzbar wäre.
> > Aber ich weiß nicht ob ich das wirklich alles so
> machen
> > kann.
> >
> Die Rechnung hier ist falsch. Beim Faktor [mm]z^n[/mm] wird das n
> natürlich festgehalten und hat nichts mit deinem n zu tun
> über das in der Exponential-Reihe summiert wird.
> Außerdem ist das was du da aufgeschrieben hast keine
> Potenzreihe. Es existiert keine Potenzreihe in z, die zb
> die Funktion f(z)=exp(1/z) darstellt. Wohl aber eine
> Laurentreihe. Bilde diese für deine Funktion, und schau
> dir die Koeffizienten an.
>
Ok also du meinst dass ich für exp(1/z) die Laurent-Reihe aufstellen soll oder für die ganze Funktion f(z)?
Wenn ich das nur für exp(1/z) mache erhalte ich:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{-n}}{n!}
[/mm]
Eigentlich könnte ich die ganze sache ja jetzt auch so aufsplitten,indem ich die ordnung von diesem Ausdruck mal die Ordnung von [mm] z^n [/mm] mal die Ordnung von [mm] e^z [/mm] nehme oder?(weil nach Vorlesung gilt: [mm] ord_{zo}(f_{1}*f_{2})= [/mm] ord{z0}(f))Dies gilt zwar nur wenn diese Ordnungen nicht alle [mm] -\infty [/mm] sind,aber es ist ja nur die Ordnung von exp(1/z) = [mm] -\infty [/mm] (gilt auch nach VL)
Könnte ich so verfahren oder ist das wieder völlig falsch?
Dann würd das ja am Ende auf ne Ornung von [mm] -\infty [/mm] rauslaufen oder?
Weil die Ornung von [mm] z^{n} [/mm] ist doch n und die von [mm] e^{z} [/mm] die fehlt mir noch.
Wie komm ich da am besten drauf?
Wie hattest du das mit den Koeffizienten gemeint?
> > zu a): Hier häng ich noch am meisten und wäre für eure
> > Hilfe sehr dankbar, weil ich gar nicht weiß was ich machen
> > soll,also über einen Ansatz würde ich mich freuen!
> >
> Welche Vielfachheit hat die Nullstelle der Funktion die im
> Zähler bzw. im Nenner steht? Hattet ihr Sätze (reicht
> auch bloß einer ;)) in der Vorlesung, die es dir erlauben
> diese Information zu nutzen?
>
Also als Sätze hatten wir bisher den Riemannschen Hebbarkeitssatz und den Satz von Caserati-Weierstrass.
Könnte mir das helfen?Ich seh leider grad nicht wie.
Ich weiß leider grad auch nicht was du mit der Ordnung der Nullstelle meinst.
Könntest du mir das vielleicht am Nenner mal vorführen?
Das wär echt sehr nett!
> > Vielen Dank für die Hilfe!!!
> >
> > Grüße
> >
> >
> Beste Grüße,
> Doing
> >
>
Grüße zurück
Lati
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Entschuldiege, dass ich dich mit dem exp(1/z) verwirrt hab. Die Laurentreihe solltest du natürlich für f(z) ermitteln.
Bzw. es ist nichteinmal notwendig die Reihe explizit anzugeben. Es geht um die Frage, ob der Hauptteil der Laurentreihe irgendwann abbricht; d.h. gibt es ein N sodass gilt: [mm] a_n=0 \ \forall n > N [/mm] ?
Falls ja, hast du in 0 einen Pol der Ordnung N; falls nein, hast du eine wesentliche Singularität.
D.h. du solltest versuchen die Exponentialreihe halt soweit umzuformen, bis du darüber eine Aussage treffen kannst.
Deine Gedanken gehen ja da auch schon in die Richtung. Das Problem bei dem Aufspalten der Funktion ist aber, dass doch exp(z) in 0 überhaupt keine Singularität hat. Von daher ist der Ordnungsbegriff gar nicht anwendbar.
Grüße,
Doing
Edit: Um Verwirrungen vozubeugen: mit den Koeffizienten [mm] a_n [/mm] oben sind die Koeffizienten des Hauptteils der Laurentreihe gemeint, d.h. der Reihe der Terme mit negativen Exponenten.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Lati |
Hi,
ok also die Laurent-Reihe für die ganze Funktion:
Ist das dann einfach [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} ({(z+1/z)}^{n})/n!?
[/mm]
Irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch.
Könntest du mir vllt mal die ersten Schritte deiner Argumentation aufschreiben?
Das wär sehr nett!!!
Lati
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Also: Es gilt
[mm] f(z)= z^n*exp(z+\bruch{1}{z})=z^n\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(z+\bruch{1}{z})^k}{k!} = z^n\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\summe_{l=0}^{k}{k \choose l}z^{k-l}*(\bruch{1}{z})^l = \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\summe_{l=0}^{k}{k \choose l}z^{n+k-2l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k}\bruch{1}{(k-l)!k!}z^{n+k-2l} [/mm]
Dies ist natürlich noch keine Laurentreihe. Auf die explizite Darstellung gelangt man meines Erachtens nach auch nicht so leicht. Aber das Entscheidende ist, ob man nun schon eine Aussage darüber machen kann, ob der Hauptteil abbricht.
Grüße,
Doing
Edit: Es ist natürlich schon die Laurentreihe, allerdings eben nicht in ihrer 'Standardform'
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Lati |
Hi,
ok vielen Dank!
> Hallo!
>
> Also: Es gilt
>
> [mm]f(z)= z^n*exp(z+\bruch{1}{z})=z^n\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(z+\bruch{1}{z})^k}{k!} = z^n\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\summe_{l=0}^{k}{k \choose l}z^{k-l}*(\bruch{1}{z})^l = \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\summe_{l=0}^{k}{k \choose l}z^{n+k-2l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k}\bruch{1}{(k-l)!k!}z^{n+k-2l}[/mm]
>
> Dies ist natürlich noch keine Laurentreihe. Auf die
> explizite Darstellung gelangt man meines Erachtens nach
> auch nicht so leicht. Aber das Entscheidende ist, ob man
> nun schon eine Aussage darüber machen kann, ob der
> Hauptteil abbricht.
>
Du meinst doch jetzt dass ich die Koeffizeinten betrachten soll für negative n oder?
Aber ich seh immer noch nicht auf was ich da kommen soll?
Kannst du mir nochmal helfen?
Lati
> Grüße,
> Doing
>
> Edit: Es ist natürlich schon die Laurentreihe, allerdings
> eben nicht in ihrer 'Standardform'
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> Hi,
>
> ok vielen Dank!
>
> > Hallo!
> >
> > Also: Es gilt
> >
> > [mm]f(z)= z^n*exp(z+\bruch{1}{z})=z^n\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(z+\bruch{1}{z})^k}{k!} = z^n\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\summe_{l=0}^{k}{k \choose l}z^{k-l}*(\bruch{1}{z})^l = \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\summe_{l=0}^{k}{k \choose l}z^{n+k-2l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k}\bruch{1}{(k-l)!k!}z^{n+k-2l}[/mm]
>
> >
> > Dies ist natürlich noch keine Laurentreihe. Auf die
> > explizite Darstellung gelangt man meines Erachtens nach
> > auch nicht so leicht. Aber das Entscheidende ist, ob man
> > nun schon eine Aussage darüber machen kann, ob der
> > Hauptteil abbricht.
> >
>
> Du meinst doch jetzt dass ich die Koeffizeinten betrachten
> soll für negative n oder?
> Aber ich seh immer noch nicht auf was ich da kommen soll?
Es geht bloß darum, ob die Koeffizienten 0 sind oder nicht.
Aus der obigen Reihendarstellung folgt, dass es Terme in z gibt mit negativen Exponenten. Und zwar für k>n. Es gibt dann nämlich immer mindestens (für jedes darauffolgende Glied der Reihe) den Term mit [mm] z^{n+k-2k}=z^{n-k} [/mm]
Diese Terme kann man nun einfach zusammenfassen zu [mm] \summe_{i=n}^{\infty}\bruch{1}{i!}z^{n-i}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+j)!}z^{-j} [/mm].
Wie der Rest der ursprünglichen Reihe aussieht, ist ganz egal, denn alle Koeffizienten sind positiv und somit kann sich auch nichts wegheben.
Also liegt eine wesentliche Singularität vor.
Gruß,
Doing
>
> Kannst du mir nochmal helfen?
>
> Lati
> > Grüße,
> > Doing
> >
> > Edit: Es ist natürlich schon die Laurentreihe, allerdings
> > eben nicht in ihrer 'Standardform'
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Do 21.01.2010 | | Autor: | Lati |
Hallo nochmal,
wollt mich noch bedanken für deine ausdauernde Hilfe!
Grüße
Lati
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a ):
Sei $h(z) := [mm] e^{cos(z)-1}-1$
[/mm]
Dann ist $h(0) =0, h'(0) = 0$ und $h''(0) =-1$. Also hat h in [mm] z_0 [/mm] = 0 eine 2-fache Nullstelle, somit gibt es eine ganze Funktion g mit
$h(z) = z^2g(z)$ und $g(0) [mm] \not=0$
[/mm]
Damit ist
$f(z)= [mm] \bruch{sin(z^3)}{e^{cos(z)-1}-1}= \bruch{sin(z^3)}{z^2g(z)}= \bruch{sin(z^3)}{z^3}*\bruch{z^3}{z^2g(z)} [/mm] = [mm] \bruch{sin(z^3)}{z^3}*\bruch{z}{g(z)}$
[/mm]
Die Funktion [mm] \bruch{sin(z^3)}{z^3} [/mm] hat in [mm] z_0=0 [/mm] eine hebbare Singularität und die Funktion [mm] \bruch{z}{g(z)} [/mm] ist in einer Umgebung von [mm] z_0=0 [/mm] holomorph.
Fazit: f hat in [mm] z_0 [/mm] =0 eine hebbare Singularität.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Lati |
Hi Fred,
vielen Dank für die Antwort. Das konnte man sehr gut nachvollziehen.
Ich hab nur noch eine Frage: Kann man die Funktion g nun auch explizit angeben?
Viele Grüße
Lati
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> vielen Dank für die Antwort. Das konnte man sehr gut
> nachvollziehen.
> Ich hab nur noch eine Frage: Kann man die Funktion g nun
> auch explizit angeben?
Ja: $g(z) = [mm] h(z)/z^2$ [/mm] für [mm] z\not= [/mm] 0 und $g(0) = -1$
(aber für Deine Aufgabe brauchst Du das nicht)
FRED
>
> Viele Grüße
>
> Lati
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Lati |
Cool,danke!
Ich will dich ja nicht zu arg nerven,aber hättest du für den c)-Teil auch noch ne Idee oder ne Korrektur zu meinem?
Lati
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Cool,danke!
>
> Ich will dich ja nicht zu arg nerven,
Du nervst mich nicht, wie kommst Du darauf ?
> aber hättest du für
> den c)-Teil auch noch ne Idee oder ne Korrektur zu meinem?
Heute nicht mehr, ich muß jetzt zum Onkel Doktor
FRED
>
> Lati
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Lati |
Dann mal viel Spaß
Vielleicht bis morgen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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