Singularitäten klassifizieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Bei den obigen Aufgaben habe ich Probleme. Ich denke zwar, aus Gefühl jeweils sagen zu können, was für eine Singularität vorliegt, kann es aber nicht anhand der Kriterien zeigen. Da es viele Fragen sind, freue ich mich auch über Teilantworten!
- Was bedeutet eigentlich klassifizieren? Dass ich einfach sage: Bei der und der Stelle liegt die und die Singularität vor?
- Ich habe es so verstanden, dass eine wesentliche Singularität von einem Pol dahingehend unterscheidet, dass in der Umgebung des Pols nur polynomiales Wachstum vorliegt, bei der wesentlichen Singularität aber "höheres" Wachstum, also zum Beispiel exponentielles. Stimmt das?
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Ich möchte euch meine Versuche schildern und wäre froh, wenn ihr mich korrigieren und Tipps geben könntet.
1.
a)
$f(z) = [mm] \bruch{z^{4}}{(z^{4}+16)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4}}{(z^{2}-4i)^{2}*(z^{2}+4i)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4}}{(z-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z-(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}}$
[/mm]
D.h. es liegt vermutlich jeweils bei [mm] $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i$ [/mm] ein Pol 2. Ordnung vor. Da sich die Laurent-Reihen hier nicht anbieten (Weil ich die erst aufstellen müsste), müsste ich wahrscheinlich zeigen, dass jeweils eine Zahl k = 2 existiert, sodass dann bei
[mm] $(z-(\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i))^{2}*f(z)$
[/mm]
eine hebbare Singularität an der Stelle [mm] $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i$ [/mm] vorliegt. Das lässt sich ja einfach zeigen, weil z.B.
[mm] $(z-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{z^{4}}{(z+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z-(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}}$
[/mm]
und somit überhaupt keine Singularität bei [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ [/mm] mehr da ist. Die Funktion ist also in einer Umgebung von [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ [/mm] beschränkt. (--> stetig hebbar nach Riemann) Aber wie zeige ich das?
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b)
$f(z) = [mm] \exp\left(\bruch{1}{z^{3}}\right)$
[/mm]
Ich würde behaupten, bei z = 0 liegt eine wesentliche Singularität vor. Wenn ich das zeigen will, was muss ich dann tun? Ich könnte jetzt wieder schreiben: Funktion ist in Umgebung von z = 0 nicht beschränkt. Weiterhin existiert auch kein [mm] k\in\N, [/mm] so dass [mm] $z^{k}*f(z)$ [/mm] stetig hebbar bei 0 ist. Aber wie zeige ich das jeweils?
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c)
$f(z) = [mm] \bruch{z^{2}-\pi^{2}}{\sin^{2}(z)}$
[/mm]
Ich behaupte:
- Bei z = 0 Pol 2. Ordnung, denn [mm] $z^{2}*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{z^{2}}{\sin^{2}(z)}*(z^{2}-\pi^{2})$ [/mm] ist bei z = 0 beschränkt und damit stetig hebbar.
- Bei z = [mm] \pi [/mm] bzw. z = [mm] -\pi [/mm] liegt ein Pol 1. Ordnung vor, weil [mm] $(z\pm\pi)*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{(z\pm\pi)*(z-\pi)*(z+\pi)}{\sin^{2}(z)}$ [/mm] bei z = [mm] \pm\pi [/mm] beschränkt ist und damit stetig hebbar.
- Bei z = [mm] k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ\backslash\{-1,0,1\} [/mm] liegt Pol 2. Ordnung vor.
Aber wie weise ich die Beschränktheit jeweils nach? Muss ich einen Grenzwert bilden?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 05.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich möchte euch meine Versuche schildern und wäre froh, wenn ihr mich korrigieren und Tipps geben könntet.
a)
$f(z) = [mm] \bruch{z^{4}}{(z^{4}+16)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4}}{(z^{2}-4i)^{2}*(z^{2}+4i)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{z^{4}}{(z-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z-(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}}$
[/mm]
D.h. es liegt vermutlich jeweils bei [mm] $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i$ [/mm] ein Pol 2. Ordnung vor. Da sich die Laurent-Reihen hier nicht anbieten (Weil ich die erst aufstellen müsste), müsste ich wahrscheinlich zeigen, dass jeweils eine Zahl k = 2 existiert, sodass dann bei
[mm] $(z-(\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i))^{2}*f(z)$
[/mm]
eine hebbare Singularität an der Stelle [mm] $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i$ [/mm] vorliegt. Das lässt sich ja einfach zeigen, weil z.B.
[mm] $(z-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{z^{4}}{(z+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z-(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}}$
[/mm]
und somit überhaupt keine Singularität bei [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ [/mm] mehr da ist. Die Funktion ist also in einer Umgebung von [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ [/mm] beschränkt. (--> stetig hebbar nach Riemann) Aber wie zeige ich das?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
>
> Ich möchte euch meine Versuche schildern und wäre froh,
> wenn ihr mich korrigieren und Tipps geben könntet.
>
> a)
>
> [mm]f(z) = \bruch{z^{4}}{(z^{4}+16)^{2}} = \bruch{z^{4}}{(z^{2}-4i)^{2}*(z^{2}+4i)^{2}} = \bruch{z^{4}}{(z-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z-(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}}[/mm]
>
> D.h. es liegt vermutlich jeweils bei
> [mm]\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i[/mm] ein Pol 2. Ordnung vor. Da sich die
> Laurent-Reihen hier nicht anbieten (Weil ich die erst
> aufstellen müsste), müsste ich wahrscheinlich zeigen, dass
> jeweils eine Zahl k = 2 existiert, sodass dann bei
>
> [mm](z-(\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i))^{2}*f(z)[/mm]
>
> eine hebbare Singularität an der Stelle
> [mm]\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i[/mm] vorliegt. Das lässt sich ja einfach
> zeigen, weil z.B.
>
> [mm](z-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*f(z) = \bruch{z^{4}}{(z+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z-(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}*(z+(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i))^{2}}[/mm]
>
> und somit überhaupt keine Singularität bei
> [mm]\sqrt{2}+\sqrt{2}i[/mm] mehr da ist. Die Funktion ist also in
> einer Umgebung von [mm]\sqrt{2}+\sqrt{2}i[/mm] beschränkt. (-->
> stetig hebbar nach Riemann) Aber wie zeige ich das?
Ich verstehe Deine Frage nicht ! Du hast doch schon alles gezeigt
FRED
>
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe,
> Stefan
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Hallo und danke für deine Antwort!
> Ich verstehe Deine Frage nicht ! Du hast doch schon alles
> gezeigt
>
> FRED
Ja, aber ich habe einfach gesagt, dass die Funktion um [mm] z_{0} [/mm] beschränkt ist. WIe könnte ich diese Beschränktheit zeigen? Oder liegt automatisch Beschränktheit vor, wenn keine Singularität da ist?
Danke für Eure Hilfe, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für deine Antwort!
>
> > Ich verstehe Deine Frage nicht ! Du hast doch schon alles
> > gezeigt
> >
> > FRED
>
> Ja, aber ich habe einfach gesagt, dass die Funktion um
> [mm]z_{0}[/mm] beschränkt ist. WIe könnte ich diese Beschränktheit
> zeigen? Oder liegt automatisch Beschränktheit vor, wenn
> keine Singularität da ist?
Na klar, so ist z.B. die Funktion 1/z in der Nähe von [mm] z_0 [/mm] = 1 beschränkt
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe, Stefan.
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Danke für deine Antwort, fred !
Stefan.
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
hier meine Versuche zu b):
$f(z) = [mm] \exp\left(\bruch{1}{z^{3}}\right)$
[/mm]
Ich würde behaupten, bei z = 0 liegt eine wesentliche Singularität vor. Wenn ich das zeigen will, was muss ich dann tun? Ich könnte jetzt wieder schreiben: Funktion ist in Umgebung von z = 0 nicht beschränkt. Weiterhin existiert auch kein [mm] k\in\N, [/mm] so dass [mm] $z^{k}*f(z)$ [/mm] stetig hebbar bei 0 ist. Aber wie zeige ich das jeweils?
Danke für Eure Hilfe!
Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze in die Exponentialreihe mal das Argument [mm] $1/z^3$ [/mm] ein. Dann hast Du die Laurentreihe von f vor der Nase. Hilft das ?
FRED
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Hallo und danke für deine Antwort!
Die Laurentreihe ist dann also [mm] $\exp\left(\bruch{1}{z^{3}}\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{-3k}}{k!}$.
[/mm]
Jetzt habe ich ja eine Laurentreihe um meinen kritischen Punkt [mm] $z_{0}=0$ [/mm] und kann sehen, dass es unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden [mm] \Rightarrow [/mm] Wesentliche Singularität bei [mm] z_{0} [/mm] = 0. Würde das als Begründung reichen?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für deine Antwort!
>
> Die Laurentreihe ist dann also
> [mm]\exp\left(\bruch{1}{z^{3}}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{-3k}}{k!}[/mm].
>
> Jetzt habe ich ja eine Laurentreihe um meinen kritischen
> Punkt [mm]z_{0}=0[/mm] und kann sehen, dass es unendlich viele
> Glieder des Hauptteils nicht verschwinden [mm]\Rightarrow[/mm]
> Wesentliche Singularität bei [mm]z_{0}[/mm] = 0. Würde das als
> Begründung reichen?
Was heißt reichen ? Das ist die Begründung
FRED
>
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo, hier noch meine Versuche zu c)
$f(z) = [mm] \bruch{z^{2}-\pi^{2}}{\sin^{2}(z)}$
[/mm]
Ich behaupte:
- Bei z = 0 Pol 2. Ordnung, denn [mm] $z^{2}*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{z^{2}}{\sin^{2}(z)}*(z^{2}-\pi^{2})$ [/mm] ist bei z = 0 beschränkt und damit stetig hebbar.
- Bei z = [mm] \pi [/mm] bzw. z = [mm] -\pi [/mm] liegt ein Pol 1. Ordnung vor, weil [mm] $(z\pm\pi)*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{(z\pm\pi)*(z-\pi)*(z+\pi)}{\sin^{2}(z)}$ [/mm] bei z = [mm] \pm\pi [/mm] beschränkt ist und damit stetig hebbar.
- Bei z = [mm] k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ\backslash\{-1,0,1\} [/mm] liegt Pol 2. Ordnung vor.
Aber wie weise ich die Beschränktheit jeweils nach? Muss ich einen Grenzwert bilden?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo, hier noch meine Versuche zu c)
>
> [mm]f(z) = \bruch{z^{2}-\pi^{2}}{\sin^{2}(z)}[/mm]
>
> Ich behaupte:
> - Bei z = 0 Pol 2. Ordnung, denn [mm]z^{2}*f(z) = \bruch{z^{2}}{\sin^{2}(z)}*(z^{2}-\pi^{2})[/mm]
> ist bei z = 0 beschränkt und damit stetig hebbar.
O.K.
> - Bei z = [mm]\pi[/mm] bzw. z = [mm]-\pi[/mm] liegt ein Pol 1. Ordnung vor,
> weil [mm](z\pm\pi)*f(z) = \bruch{(z\pm\pi)*(z-\pi)*(z+\pi)}{\sin^{2}(z)}[/mm]
> bei z = [mm]\pm\pi[/mm] beschränkt ist und damit stetig hebbar.
O.K.
> - Bei z = [mm]k*\pi[/mm] mit [mm]k\in\IZ\backslash\{-1,0,1\}[/mm] liegt Pol
> 2. Ordnung vor.
> Aber wie weise ich die Beschränktheit jeweils nach? Muss
> ich einen Grenzwert bilden?
Sei [mm] z_0 [/mm] = [mm]k*\pi[/mm] mit [mm]k\in\IZ\backslash\{-1,0,1\}[/mm]
Dann gibt es eine ganze Funktion g mit:
$sinz = [mm] (z-z_0)g(z)$ [/mm] und [mm] g(z_0) \not= [/mm] 0
Damit
[mm] $(z-z_0)^2f(z) [/mm] = [mm] \bruch{z^2- \pi^2}{g(z)^2} \to \bruch{z_0^2- \pi^2}{g(z_0)^2}$ [/mm] für $ z [mm] \to z_0$
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Stefan
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Vielen Dank für deine Hilfe, fred!
Viele Grüße, Stefan.
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