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| Aufgabe | Klassifiziere die Singularitäten der folgenden Funktionen und gebe bei Polen deren Ordnung an:
a) $f(z) = [mm] \bruch{1-\cos(z)}{\sin(z)}$
[/mm]
b) $f(z) = [mm] \bruch{1}{e^{z}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-2*\pi*i}$ [/mm] |
Hallo!
Bei den obigen Aufgaben sind mir Zweifel bei meinen Lösungen gekommen. Könntet ihr sie bitte kontrollieren?
a)
Weil der Sinus im Nenner ist, gibt es grundsätzlich kritische Stellen bei [mm] $z_{0} [/mm] = [mm] k*\pi, k\in\IZ$. [/mm] Nun gibt es zwei Fälle:
1. $k = 2m$, [mm] m\in\IZ: [/mm] Dann ist der Zähler gleichzeitig auch 0 und es handelt sich um eine hebbare Singularität, weil f in der Umgebung von [mm] z_{0} [/mm] dann beschränkt ist. Wie kann ich das geeignet begründen? Bis jetzt weiß ich ja nur, dass an der Stelle [mm] z_{0} [/mm] die Funktion f den Wert [mm] \bruch{0}{0} [/mm] annimmt.
2. $k = 2m+1$, [mm] m\in\IZ: [/mm] Dann ist der Zähler gleichzeitig = 2 und es handelt sich um einen Pol 1. Ordnung.
b)
Aufgrund des ersten Summanden der Funktion $f(z) = [mm] \bruch{1}{e^{z}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-2*\pi*i}$ [/mm] habe ich kritische Stellen bei [mm] $z_{0} [/mm] = [mm] 2*k*\pi*i, k\in\IZ$. [/mm] Dort liegt jeweils eine wesentliche Singularität vor. (Wie kann ich das nachweisen? Hier komme ich ja nicht so einfach an eine Laurent-Reihe...)
Ich würde sagen, dass der Spezialfall k = 1 mit [mm] $z_{0} [/mm] = [mm] 2*\pi*i$ [/mm] davon keine Ausnahme bildet, auch wenn dann der zweite Bruch auch im Nenner eine 0 hat, weil exponentielles Wachstum stärker als polynomiales ist.
Viele Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Klassifiziere die Singularitäten der folgenden Funktionen
> und gebe bei Polen deren Ordnung an:
>
> a) [mm]f(z) = \bruch{1-\cos(z)}{\sin(z)}[/mm]
>
> b) [mm]f(z) = \bruch{1}{e^{z}-1} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}[/mm]
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> Hallo!
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> Bei den obigen Aufgaben sind mir Zweifel bei meinen
> Lösungen gekommen. Könntet ihr sie bitte kontrollieren?
>
> a)
>
> Weil der Sinus im Nenner ist, gibt es grundsätzlich
> kritische Stellen bei [mm]z_{0} = k*\pi, k\in\IZ[/mm]. Nun gibt es
> zwei Fälle:
>
> 1. [mm]k = 2m[/mm], [mm]m\in\IZ:[/mm] Dann ist der Zähler gleichzeitig auch 0
> und es handelt sich um eine hebbare Singularität, weil f in
> der Umgebung von [mm]z_{0}[/mm] dann beschränkt ist. Wie kann ich
> das geeignet begründen? Bis jetzt weiß ich ja nur, dass an
> der Stelle [mm]z_{0}[/mm] die Funktion f den Wert [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> annimmt.
Zähler und nenner haben in [mm] z_0 [/mm] jeweils eine einfache Nullstelle, also gibt es ganze Funktionen g und h mit:
$ f(z) = [mm] \bruch{1-\cos(z)}{\sin(z)}= \bruch{(z-z_0)g(z)}{(z-z_0)h(z)}= \bruch{g(z)}{h(z)}$ [/mm] und [mm] $g(z_0) \not= [/mm] 0 [mm] \not= h(z_0)$
[/mm]
Jetzt z-----> [mm] z_0
[/mm]
>
> 2. [mm]k = 2m+1[/mm], [mm]m\in\IZ:[/mm] Dann ist der Zähler gleichzeitig = 2
> und es handelt sich um einen Pol 1. Ordnung.
O:K.
>
> b)
>
> Aufgrund des ersten Summanden der Funktion [mm]f(z) = \bruch{1}{e^{z}-1} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}[/mm]
> habe ich kritische Stellen bei [mm]z_{0} = 2*k*\pi*i, k\in\IZ[/mm].
> Dort liegt jeweils eine wesentliche Singularität vor.
nein, es sind Pole der Ordnung 1. Sei [mm] z_0 [/mm] ein solcher Punkt.
Dann gilt mit einer ganzen Funktion g:
[mm] $e^z-1 [/mm] = [mm] (z-z_0)g(z)$ [/mm] und [mm] g(z_0) \not= [/mm] 0
Hilft das ?
FRED
> (Wie
> kann ich das nachweisen? Hier komme ich ja nicht so einfach
> an eine Laurent-Reihe...)
>
> Ich würde sagen, dass der Spezialfall k = 1 mit [mm]z_{0} = 2*\pi*i[/mm]
> davon keine Ausnahme bildet, auch wenn dann der zweite
> Bruch auch im Nenner eine 0 hat, weil exponentielles
> Wachstum stärker als polynomiales ist.
>
> Viele Dank für Eure Hilfe,
> Stefan.
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Hallo und vielen Dank für die Antwort!
> [mm]f(z) = \bruch{1-\cos(z)}{\sin(z)}= \bruch{(z-z_0)g(z)}{(z-z_0)h(z)}= \bruch{g(z)}{h(z)}[/mm]
> und [mm]g(z_0) \not= 0 \not= h(z_0)[/mm]
>
> Jetzt z-----> [mm]z_0[/mm]
D.h.
[mm] f(z_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{g(z_{0})}{h(z_{0})}
[/mm]
und weil [mm] $h(z_{0}) \not= [/mm] 0$ ist f(z) um [mm] z_{0} [/mm] beschränkt. (?)
> > Aufgrund des ersten Summanden der Funktion [mm]f(z) = \bruch{1}{e^{z}-1} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}[/mm]
> > habe ich kritische Stellen bei [mm]z_{0} = 2*k*\pi*i, k\in\IZ[/mm].
> > Dort liegt jeweils eine wesentliche Singularität vor.
>
> nein, es sind Pole der Ordnung 1. Sei [mm]z_0[/mm] ein solcher
> Punkt.
>
> Dann gilt mit einer ganzen Funktion g:
>
> [mm]e^z-1 = (z-z_0)g(z)[/mm] und [mm]g(z_0) \not=[/mm] 0
Ach so! Weil ich im Nenner nur eine einfache Nullstelle habe, habe ich auch nur einen Pol 1. Ordnung?
Und weil die Singularität nicht z.B. in einer Exponentialfunktion steht und so auf exponentielles Wachstum in ihrer Umgebung "verstärkt" wird, bleibt es polynomiales Wachstum?
Nun ist noch die Frage, was dann an der Stelle [mm] $z_{0} [/mm] = [mm] 2*\pi*i$ [/mm] passiert.
Ich würde aber sagen, auch dort liegt ein Pol 1. Ordnung vor, weil dann ja ebenfalls ein g(z) existiert mit [mm] $e^z-1 [/mm] = [mm] (z-2*\pi*i)g(z)$ [/mm] und [mm]g(2*\pi*i) \not= 0[/mm] und somit
[mm] $(z-2*\pi*i)*f(z) [/mm] = [mm] (z-2*\pi*i)*\left(\bruch{1}{e^{z}-1} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}\right) [/mm] = [mm] (z-2*\pi*i)*\left(\bruch{1}{(z-2*\pi*i)*g(z)} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{g(z)} [/mm] - 1$,
also wäre [mm] (z-2*\pi*i)*f(z) [/mm] um [mm] z_{0} [/mm] = [mm] 2*\pi*i [/mm] beschränkt und damit diese Stelle stetig hebbar [mm] \Rightarrow [/mm] Pol 1. Ordnung?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:22 So 07.06.2009 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo, bin weiter an der Beantwortung der obigen Frage interessiert.
Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:00 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und vielen Dank für die Antwort!
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> > [mm]f(z) = \bruch{1-\cos(z)}{\sin(z)}= \bruch{(z-z_0)g(z)}{(z-z_0)h(z)}= \bruch{g(z)}{h(z)}[/mm]
> > und [mm]g(z_0) \not= 0 \not= h(z_0)[/mm]
> >
> > Jetzt z-----> [mm]z_0[/mm]
>
> D.h.
>
> [mm]f(z_{0})[/mm] = [mm]\bruch{g(z_{0})}{h(z_{0})}[/mm]
>
> und weil [mm]h(z_{0}) \not= 0[/mm] ist f(z) um [mm]z_{0}[/mm] beschränkt.
Ja
> (?)
>
> > > Aufgrund des ersten Summanden der Funktion [mm]f(z) = \bruch{1}{e^{z}-1} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}[/mm]
> > > habe ich kritische Stellen bei [mm]z_{0} = 2*k*\pi*i, k\in\IZ[/mm].
> > > Dort liegt jeweils eine wesentliche Singularität vor.
> >
> > nein, es sind Pole der Ordnung 1. Sei [mm]z_0[/mm] ein solcher
> > Punkt.
> >
> > Dann gilt mit einer ganzen Funktion g:
> >
> > [mm]e^z-1 = (z-z_0)g(z)[/mm] und [mm]g(z_0) \not=[/mm] 0
>
> Ach so! Weil ich im Nenner nur eine einfache Nullstelle
> habe, habe ich auch nur einen Pol 1. Ordnung?
Ja
> Und weil die Singularität nicht z.B. in einer
> Exponentialfunktion steht und so auf exponentielles
> Wachstum in ihrer Umgebung "verstärkt" wird, bleibt es
> polynomiales Wachstum?
>
> Nun ist noch die Frage, was dann an der Stelle [mm]z_{0} = 2*\pi*i[/mm]
> passiert.
> Ich würde aber sagen, auch dort liegt ein Pol 1. Ordnung
> vor, weil dann ja ebenfalls ein g(z) existiert mit [mm]e^z-1 = (z-2*\pi*i)g(z)[/mm]
> und [mm]g(2*\pi*i) \not= 0[/mm] und somit
>
> [mm](z-2*\pi*i)*f(z) = (z-2*\pi*i)*\left(\bruch{1}{e^{z}-1} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}\right) = (z-2*\pi*i)*\left(\bruch{1}{(z-2*\pi*i)*g(z)} - \bruch{1}{z-2*\pi*i}\right) = \bruch{1}{g(z)} - 1[/mm],
>
> also wäre [mm](z-2*\pi*i)*f(z)[/mm] um [mm]z_{0}[/mm] = [mm]2*\pi*i[/mm] beschränkt
> und damit diese Stelle stetig hebbar [mm]\Rightarrow[/mm] Pol 1.
> Ordnung?
Ja
FRED
>
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe,
> Stefan.
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OK, vielen Dank für deine Antwort, fred!
Grüße, Stefan.
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