Singularitäten und Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 13.01.2009 | | Autor: | daTidus |
| Aufgabe | Bestimme die Art der isolierten Singularität und das jeweilige Residuum der folgenden Funktionen:
a) z*sin(1/z)
b) [mm] cos(\pi*z)/(z-1)^3 [/mm] |
Also zu a) habe ich folgendes:
[mm] z*sin(1/z)=z*\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*z^{-2n-1}/(2n+1)!
[/mm]
[mm] =\summe_{n=-\infty}^{0}(-1)^{-n}*z^{2n}/(-2n+1)!
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wesentliche Singularität in z=0 und [mm] Res_0(f)=-1/6
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung?
zu b) weiß ich jetzt nicht genau was ich machen soll, habe immer Schwierigkeiten, wenn die isolierte Singularität nicht in 0 liegt, sondern wie hier in 1. Über tipps würde ich mich also sehr freuen ;)
Gruß daTidus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 13.01.2009 | | Autor: | daTidus |
zu a): stimmt, das residuum müsste dann ja 0 sein, weil 1/z in der reihenentwicklung nicht mehr auftaucht.
zu b) also [mm] cos(\pi*z) [/mm] hat Nullstellen bei z= 1/2+k , wobei [mm] k\in\IZ, (z-1)^3 [/mm] hat Nullstelle bei 1. Daraus kann man (denke ich) folgern, dass bei z=1 keine hebbare Singularität vorliegt, hilft mir das sonst noch weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Di 13.01.2009 | | Autor: | daTidus |
Ah, hatte n Brett vorm Kopf, habs jetzt gelöst:
f(z) hat in z=1 einen Pol 3. Ordnung, daraus folgt:
[mm] Res_1(f)=cos''(\pi)/(3-1)!=\pi^2/2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 13.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ah, hatte n Brett vorm Kopf, habs jetzt gelöst:
>
> f(z) hat in z=1 einen Pol 3. Ordnung, daraus folgt:
>
> [mm]Res_1(f)=cos''(\pi)/(3-1)!=\pi^2/2[/mm]
Ja, das kriegt Maxima auch raus 
Viele Grüße
Rainer
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
$-1/6$ ist der Koeffizient von [mm] $\bruch{1}{z^2}$. [/mm] Das Residuum ist der Koeffizient von [mm] $\bruch{1}{z}$.
[/mm]