Sinus, Cosinuskurve < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Do 27.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Nachmittag
Ich habe ein Problem
Wenn ich mir die Sinus und Cosinuskurve ansehe, so sehe ich, dass die Cosinuskurve der Sonuskirve um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] nachhinkt
cos ( [mm] \alpha [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = - [mm] sin\alpha
[/mm]
Doch wieso gibt das minus?
Denn eigenlich müsste es doch gemäss Kurve genau sin [mm] \alpha [/mm] geben...
Wo liegt mein Überlegungsfehler?
Danke
Gruss Dinker
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 27.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
Der Cosinus ist dem Sinus voraus, denn es ist cos(0)=1 aber sin(0)=0 und erst wenn der Sinus bei pi/2 angekommen ist, hat er den Wert 1 erreicht. Deshalb ist
[mm] cos\left(\alpha-\bruch{1}{2}\pi\right)=sin\left(\alpha\right)
[/mm]
oder auch
[mm] cos\left(\alpha+\bruch{1}{2}\pi\right)=sin(-\alpha)=-sin\left(\alpha\right)
[/mm]
mit Bildchen (ich habe hier -sin(x) leicht verschoben, damit man sehen kann, dass die Kurve mit cos(x+pi/2) identisch ist):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lg
Herby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 27.08.2009 | | Autor: | Dinker |
> Hallo Dinker,
>
> Der Cosinus ist dem Sinus voraus, denn es ist cos(0)=1 aber
> sin(0)=0 und erst wenn der Sinus bei pi/2 angekommen ist,
> hat er den Wert 1 erreicht. Deshalb is
> [mm]cos\left(\alpha-\bruch{1}{2}\pi\right)=sin\left(\alpha\right)[/mm]
>
Nun aber
cos (0) = 1
sin (0 + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = 1
Hier ist doch ganz augenscheinlich, dass der Sinus um [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] vorauseilt?
Gruss Dinker
> oder auch
>
> [mm]cos\left(\alpha+\bruch{1}{2}\pi\right)=sin(-\alpha)=-sin\left(\alpha\right)[/mm]
>
>
> mit Bildchen (ich habe hier -sin(x) leicht verschoben,
> damit man sehen kann, dass die Kurve mit cos(x+pi/2)
> identisch ist):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
>
>
>
> Lg
> Herby
|
|
|
| |
|
Hallo Dinker,
> Hier ist doch ganz augenscheinlich,
> dass der Sinus um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] vorauseilt?
Die Frage ist nur, was du unter "vorauseilen"
genau verstehen willst. Ich habe zum Beispiel
auch immer gewisse Schwierigkeiten damit, ob
nun die Sommerzeit der Normalzeit vorauseilt
oder hintennachhinkt ....
In Bezug auf den Tageslauf steht man dann
zwar früher auf - andererseits geht die Sonne
zu einem späteren Zeitpunkt auf und unter als
in den knapp angrenzenden Tagen des Frühjahrs
oder des Herbstes, die schon dem Winterhalbjahr
angehören ....
Viele Leute haben ein Verständnisproblem
damit, dass man den Funktionsgraph einer
Funktion
[mm] f:x\to [/mm] y=f(x)
um eine (positive) Strecke t nach rechts
verschiebt, wenn man die neue Funktion
[mm] \bar{f}:x\to \bar{y}= [/mm] f(x - t)
bildet. Am klarsten werden solche Beziehungen
wohl wirklich in der entsprechenden Gleichung.
Im vorliegenden Fall also
[mm] $sin(\alpha)=cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
oder
[mm] $cos(\alpha)=sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 27.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
> > Hallo Dinker,
> >
> > Der Cosinus ist dem Sinus voraus, denn es ist cos(0)=1 aber
> > sin(0)=0 und erst wenn der Sinus bei pi/2 angekommen ist,
> > hat er den Wert 1 erreicht. Deshalb is
> >
> [mm]cos\left(\alpha-\bruch{1}{2}\pi\right)=sin\left(\alpha\right)[/mm]
> >
>
> Nun aber
> cos (0) = 1
> sin (0 + [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] = 1
>
> Hier ist doch ganz augenscheinlich, dass der Sinus um
> [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] vorauseilt?
>
> Gruss Dinker
>
Eben genau nicht. Einfaches Beispiel: Jürgen ist 3 Jahre älter als Birgit, er (ebenso der Cosinus) eilt also der Birgit (dem Sinus) um drei Jahre (pi/2) voraus:
[mm] A_{J"urgen}\red{-}3Jahre=A_{Birgit}
[/mm]
[mm] Cosinus(\alpha\red{-}pi/2)=Sinus(\alpha)
[/mm]
Du musst also vom Cosinus aus immer [mm] \pi/2 [/mm] rückwärts gehen um den Sinus an gleicher Stelle zu erhalten, da dieser hinterher läuft. Im Umkehrschluss musst natürlich zum Sinus immer [mm] \pi/2 [/mm] draufpacken um den Cosinus einzuholen, denn der ist eben diesen Betrag im Argument voraus. Das steht genau in deiner schon oben angeführten Gleichung:
sin [mm] (0+\bruch{\pi}{2})=1=cos(0)
[/mm]
Klarer?
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
Hallo Dinker,
> > Hallo Dinker,
> >
> > Der Cosinus ist dem Sinus voraus, denn es ist cos(0)=1 aber
> > sin(0)=0 und erst wenn der Sinus bei pi/2 angekommen ist,
> > hat er den Wert 1 erreicht. Deshalb is
> >
> [mm]cos\left(\alpha-\bruch{1}{2}\pi\right)=sin\left(\alpha\right)[/mm]
> >
>
> Nun aber
> cos (0) = 1
> sin (0 + [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] = 1
>
> Hier ist doch ganz augenscheinlich, dass der Sinus um
> [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] vorauseilt?
>
> Gruss Dinker
für alle Funktionen gilt:
wenn der Graph zu f(x) um a>0 nach rechts verschoben wird, dann hat der neue Graph den Term [mm] f(x\red{-a})
[/mm]
eine Verschiebung nach oben um b>0 geschieht allerdings durch f(x) [mm] \rightarrow f(x)\red{+b}
[/mm]
Gruß informix
|
|
|
| |
|
> für alle Funktionen gilt:
> wenn der Graph zu f(x) um a>0 nach rechts verschoben wird,
> dann hat der neue Graph den Term [mm]f(x\red{-a})[/mm]
>
> eine Verschiebung nach oben um b>0 geschieht allerdings
> durch f(x) [mm]\rightarrow f(x)\red{+b}[/mm]
das "allerdings" ist allerdings nicht gerechtfertigt !
ursprüngliche Funktion:
$\ y\ =\ f(x)$
Graph um a>0 in x-Richtung nach rechts verschoben:
$\ y\ =\ [mm] f(\red{x-a})$ [/mm]
Graph um b>0 in y-Richtung nach oben verschoben:
$\ [mm] \red{y-b}\ [/mm] =\ f(x)$
LG Al-Chw.
|
|
|
|
