Sinus, die kleinste Nullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Do 22.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | In dieser Aufgabe zeigen wir, dass die Funktion sin: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine kleinste echt positive Nullstelle besitzt (d.h. [mm] \Pi, [/mm] wie früher eingeführt, ist wohldefiniert).
(a) Zeigen Sie zunächst, dass die Menge [mm] M:=\{x\in\IR | x\ge 1, sin(x)=0\} [/mm] abgeschlossen ist.
(b) Zeigen Sie weiter, dass die Funktion [mm] x\mapsto [/mm] sin(x) für [mm] x\in [/mm] (0,1] stets positiv ist.
(c) Zeigen Sie, dass sin(4) < 0 gilt, und folgern Sie, dass M ein Minimum besitzt, welches dann gleich der kleinsten echt positiven Nullstelle des Sinus ist. |
Hi!
Ich habe große Schwierigkeiten diese Aufgabe zu verstehen. Bei Teilaufgabe (a) weiß ich zwar, wie man Abgeschlossenheit allgemein zeigt, allerdings verstehe ich nicht so ganz, was das für eine Menge sein soll. Ich hoffe, ihr könnt mir diesbezüglich einen Hinweis dazu geben. Bei Teilaufgabe (b) und (c) habe ich überhaupt keine Ahnung, was ich machen soll und bin deshalb auf eure Hilfe angewiesen und ich wäre dementsprechend sehr dankbar, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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> In dieser Aufgabe zeigen wir, dass die Funktion sin: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> eine kleinste echt positive Nullstelle besitzt (d.h. [mm]\Pi,[/mm]
> wie früher eingeführt, ist wohldefiniert).
>
> (a) Zeigen Sie zunächst, dass die Menge [mm]M:=\{x\in\IR | x\ge 1, sin(x)=0\}[/mm]
> abgeschlossen ist.
> (b) Zeigen Sie weiter, dass die Funktion [mm]x\mapsto[/mm] sin(x)
> für [mm]x\in[/mm] (0,1] stets positiv ist.
> (c) Zeigen Sie, dass sin(4) < 0 gilt, und folgern Sie,
> dass M ein Minimum besitzt, welches dann gleich der
> kleinsten echt positiven Nullstelle des Sinus ist.
> Hi!
> Ich habe große Schwierigkeiten diese Aufgabe zu
> verstehen.
Hallo,
es soll gezeigt werden, daß die sin - Funktion eine kleinste positive Nullstelle hat.
(Eine Funktion, die die Nullstellen 7+1/5, 7+1/10, 7+1/20, 7+1/40, 7+1/80,... hätte, hätte keine kleinste Nullstelle)
> Bei Teilaufgabe (a) weiß ich zwar, wie man
> Abgeschlossenheit allgemein zeigt, allerdings verstehe ich
> nicht so ganz, was das für eine Menge sein soll.
In der Menge sind alle Nullstellen von f(x)=sin(x), welche größergleich 1 sind, versammelt.
> Ich
> hoffe, ihr könnt mir diesbezüglich einen Hinweis dazu
> geben. Bei Teilaufgabe (b)
Da zeigst Du, daß zwischen 0 und 1 alle Funktionswerte von sin(x) positiv sind.
(Wenn es also eine pos. Nullstelle gibt, dann liegt sie zwingend in M)
M ist nach unten beschränkt.
> und (c) habe ich überhaupt
> keine Ahnung, was ich machen soll
Du sollst erstmal zeigen, daß sin(4)<0 ist.
Du weißt aus (b): sin(1)>0.
Weil sin(x) stetig ist, gibt es zwischen 1 und 4 eine Nullstelle.
M ist also nicht leer.
M ist nach unten beschränkt.
M ist abgeschlossen.
Und daraus sollst Du jetzt etwas folgern.
LG Angela
> und bin deshalb auf eure
> Hilfe angewiesen und ich wäre dementsprechend sehr
> dankbar, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
>
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Do 22.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo angela,
> M ist kompakt.
na das stimmt so ja nicht.
M selbst ist ja nicht nach oben beschränkt.
Gruß,
Gono.
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> Hallo angela,
>
> > M ist kompakt.
>
> na das stimmt so ja nicht.
> M selbst ist ja nicht nach oben beschränkt.
>
> Gruß,
> Gono.
Danke,
hab's verbessert und nun das geschrieben, was ich eigentlich sagen wollte.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Ein Hinweis zu b): ich vermute, Ihr habt den Sinus über die Potenzreihe eingeführt.
Also
[mm] $\sin [/mm] (x)=x- [mm] \bruch{x^3}{3!}+ \bruch{x^5}{5!}- \bruch{x^7}{7!}+ \bruch{x^9}{9!}- \bruch{x^{11}}{11!}+-.....$
[/mm]
Du darfst klammern (warum ?):
[mm] $\sin [/mm] (x)=(x- [mm] \bruch{x^3}{3!})+ (\bruch{x^5}{5!}- \bruch{x^7}{7!})+ (\bruch{x^9}{9!}- \bruch{x^{11}}{11!})+.....$
[/mm]
Nun zeige, dass jede Klammer rechts für 0<x [mm] \le [/mm] 1 stets >0 ist, zeige also
[mm] \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}-\bruch{x^{2n+3}}{(2n+3)!}>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] (0,1]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Do 22.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Okay, danke erstmal für die vielen Tipps!
Ich versuchs jetzt erstmal und melde mich gegebenenfalls nochmals,
falls ich nicht weiter komme!
Gruß Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Also Teilaufgabe (b) hab ich hinbekommen.
Mein Problem liegt nun noch darin Teilaufgabe (a) und (c). Wie kann ich denn zeigen, dass die Menge M abgeschlossen ist. Ich weiß schon, wie man Abgeschlossenheit zeigt, aber wie kann ich das bei dieser Menge tun. Ich komme irgendwie nicht drauf. Bei Teilaufgabe (c) habe ich überhaupt keine Ahnung, was ich zeigen soll. Dass ich zeigen soll, dass sin(4)<0 ist und daraus folgen muss, dass es eine Nulsstelle zwischen 0 und 4 geben muss ist mir klar. Reicht da die Argumentation, dass der Sinus stetig ist und es deshalb eine Nullstelle geben muss oder ist da noch mehr zu tun?
Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen, wäre echt super!
Schonmal danke im Voraus und viele Grüße, Petrit!
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> Wie kann ich denn zeigen, dass die Menge M abgeschlossen
> ist.
Hallo,
sin ist stetig, Urbilder offener Mengen sind also offen, und Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
[mm] \IR\setminus \{0\} [/mm] ist offen. Also ist das Urbild [mm] sin^{-1}(\IR\setminus \{0\} [/mm] ) dieser Menge auch offen.
Was ist das Urbild dieser Menge? [mm] sin^{-1}(\IR\setminus \{0\} [/mm] ) =...
[mm] sin^{-1}(\IR\setminus \{0\} [/mm] ) ist offen, also ist das Komplement dieser Menge abgeschlossen.
Was ist das Komplement dieser Menge? Die Nullstellenmenge von sin.
Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Wenn es Dir jetzt noch gelingt, M als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen zu schreiben, bist Du am Ziel.
> nicht drauf. Bei Teilaufgabe (c) habe ich überhaupt keine
> Ahnung, was ich zeigen soll. Dass ich zeigen soll, dass
> sin(4)<0 ist und daraus folgen muss, dass es eine
> Nulsstelle zwischen 0 und 4 geben muss ist mir klar. Reicht
> da die Argumentation, dass der Sinus stetig ist und es
> deshalb eine Nullstelle geben muss oder ist da noch mehr zu
> tun?
Wenn es Dir bereits gelungen ist zu zeigen, daß sin(1)>0 und sin(4)<0, dann kannst Du Dich doch mit Hinweis auf die Stetigkeit auf den Zwischenwertsatz berufen.
LG Angela
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen, wäre echt
> super!
>
> Schonmal danke im Voraus und viele Grüße, Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Erstmal danke für die Hilfe.
> Hallo,
>
> sin ist stetig, Urbilder offener Mengen sind also offen,
> und Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
>
> [mm]\IR\setminus \{0\}[/mm] ist offen. Also ist das Urbild
> [mm]sin^{-1}(\IR\setminus \{0\}[/mm] ) dieser Menge auch offen.
> Was ist das Urbild dieser Menge? [mm]sin^{-1}(\IR\setminus \{0\}[/mm]
> ) =...
>
> [mm]sin^{-1}(\IR\setminus \{0\}[/mm] ) ist offen, also ist das
> Komplement dieser Menge abgeschlossen.
> Was ist das Komplement dieser Menge? Die Nullstellenmenge
> von sin.
Das habe ich jetzt verstanden.
> Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
> Wenn es Dir jetzt noch gelingt, M als Durchschnitt zweier
> abgeschlossener Mengen zu schreiben, bist Du am Ziel.
Mir ist nur nicht klar, wozu ich das noch brauche, wenn ich doch schon gezeigt habe, dass meine Nullstellenmenge abgeschlossen ist!
Würde dann das reichen?
[mm] [0,k*\pi]\cap [1,k*\pi] [/mm] mit [mm] {\IZ}^{+} [/mm] \ [mm] \{0\}
[/mm]
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> Hi.
> Erstmal danke für die Hilfe.
> > Hallo,
> >
> > sin ist stetig, Urbilder offener Mengen sind also offen,
> > und Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
> >
> > [mm]\IR\setminus \{0\}[/mm] ist offen. Also ist das Urbild
> > [mm]sin^{-1}(\IR\setminus \{0\}[/mm] ) dieser Menge auch offen.
> > Was ist das Urbild dieser Menge? [mm]sin^{-1}(\IR\setminus \{0\}[/mm]
> > ) =...
> >
> > [mm]sin^{-1}(\IR\setminus \{0\}[/mm] ) ist offen, also ist das
> > Komplement dieser Menge abgeschlossen.
> > Was ist das Komplement dieser Menge? Die Nullstellenmenge
> > von sin.
>
> Das habe ich jetzt verstanden.
>
> > Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
> > Wenn es Dir jetzt noch gelingt, M als Durchschnitt zweier
> > abgeschlossener Mengen zu schreiben, bist Du am Ziel.
>
> Mir ist nur nicht klar, wozu ich das noch brauche, wenn ich
> doch schon gezeigt habe, dass meine Nullstellenmenge
> abgeschlossen ist!
Hallo,
Du hast nicht gezeigt, daß "Deine" Nullstellenmenge, nämlich [mm] M:=\{x\in\IR| x\ge 1, sin(x)=0\} [/mm] abgeschlossen ist,
sondern Du hast gezeigt, daß "die" Nullstellenmenge [mm] \{x\in\IR| sin(x)=0\} [/mm] abgeschlossen ist.
> Würde dann das reichen?
> [mm][0,k*\pi]\cap [1,k*\pi][/mm] mit [mm]{\IZ}^{+}[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm]
Ich weiß erstens nicht, was Du hiermit sagen möchtest,
aber die Verwendung von [mm] \pi [/mm] erscheint mir auch problematisch:
Ihr habt offenbar definiert, daß die kleinste positive Nullstelle von sin als [mm] \pi [/mm] bezeichnet wird.
Das kann man ja machen, hat aber eigentlich noch nicht so viel Aussagekraft.
Ich könnte ja auch definieren, daß ich die kleinste positive Nullstelle der Funktion f mit f(x)= 2x+4 als [mm] \eta [/mm] bezeichne - nur bedauerlicherweise existiert dieses [mm] \eta [/mm] gar nicht.
Du bist gerade erst dabei zu zeigen, daß [mm] \pi [/mm] existiert, und deshalb kannst Du es nicht einfach verwenden.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Sa 24.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Zur Abgesvhlossenheit von $ [mm] M:=\{x\in\IR| x\ge 1, sin(x)=0\} [/mm] $.
Weitere Möglichkeit: zeige: ist [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in M und [mm] x_0 [/mm] ihr Limes, so ist [mm] x_0 \in [/mm] M.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Super, danke für die vielen Tipps.
Zun dem Tipp mit der konvergenten Folge.
Könnte man die Folge [mm] \bruch{1}{n}sin(x), [/mm] deren Grenzwert ja in M liegt.
Oder wie könnte sie denn sonst aussehen!
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 24.05.2014 | | Autor: | hippias |
Nein, du musst zeigen, dass fuer eine beliebige konvergente Folge von Elementen aus $M$ ihr Grenzwert ebenfalls in $M$ liegt. Eine bestimmte Folge zu betrachten hilft gar nichts. Im uebrigen sind die Folgeglieder deines Beispiels in der Regel nicht aus $M$ - denn weder duerfte [mm] $\frac{1}{n}\sin x\geq [/mm] 1$ sein und auch sind diese Zahlen ganz sicher keine Nullstellen der Sinusfunktion - noch liegt ihr Grenzwert in $M$. Erinnere dich: $M$ besteht aus den reellen Zahlen, die einerseits [mm] $\geq [/mm] 1$ sind und Nullstellen des Sinus.
Also sei [mm] $(x_{n})$ [/mm] Folge aus $M$ mit [mm] $\lim x_{n}= [/mm] x$. Nun weisst du, dass fuer alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt, dass [mm] $x_{n}\geq [/mm] 1$ und [mm] $\sin(x_{n})= [/mm] 0$ ist. Nun finde heraus, dass auch [mm] $x\geq [/mm] 1$ ist und [mm] $\sin(x)= [/mm] 0$ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 25.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
rstmal danke für die vielen Tipps!
Allerdings komme ich mit dieser Abgeschlossenheit einfach nicht weiter. Irgendwie komme ich einfach nicht drauf, wie man entweder diese konvergente Folge findet oder wie man sonst die über das Komplement die Abgeschlossenheit zeigt. Ich komme trotz der zahlreichen Tipps einfach nicht drauf, sorry.
Vielleicht könnte ihr mir ja nochmal dabei helfen, wäre echt toll!
Schonmal vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße, Petrit!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 25.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> rstmal danke für die vielen Tipps!
> Allerdings komme ich mit dieser Abgeschlossenheit einfach
> nicht weiter. Irgendwie komme ich einfach nicht drauf, wie
> man entweder diese konvergente Folge findet oder wie man
> sonst die über das Komplement die Abgeschlossenheit zeigt.
> Ich komme trotz der zahlreichen Tipps einfach nicht drauf,
> sorry.
> Vielleicht könnte ihr mir ja nochmal dabei helfen, wäre
> echt toll!
>
> Schonmal vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße,
> Petrit!
"Also sei $ [mm] (x_{n}) [/mm] $ Folge aus $ M $ mit $ [mm] \lim x_{n}= [/mm] x $. Nun weisst du, dass fuer alle $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gilt, dass $ [mm] x_{n}\geq [/mm] 1 $ und $ [mm] \sin(x_{n})= [/mm] 0 $ ist. Nun finde heraus, dass auch $ [mm] x\geq [/mm] 1 $ ist und $ [mm] \sin(x)= [/mm] 0 $ ist. "
Das hat hippias geschrieben.
Aus $ [mm] \lim x_{n}= [/mm] x $ und [mm] x_n \ge [/mm] 1 für alle n folgt x [mm] \ge [/mm] 1.
Aus $ [mm] \lim x_{n}= [/mm] x $ folgt wegen der Stetigkeit des Sinus:
$ [mm] \lim sin(x_{n})= [/mm] sin(x) $
Wegen [mm] sin(x_n)=0 [/mm] für alle n , haben wir sin(x)=0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 So 25.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
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