www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Sinus und Kosinus im Komplexen
Sinus und Kosinus im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Sinus und Kosinus im Komplexen: sin**2 + cos**2 = 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Sa 31.05.2008
Autor: Karl_Pech

Hallo Zusammen,


Wie kann man zeigen, daß für alle [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] gilt: [mm]\sin^2 z + \cos^2 z = 1[/mm] ohne dabei zu benutzen, daß [mm]\sin z = \tfrac{1}{2i}(\exp(iz)-\exp(-iz))[/mm] und [mm]\cos z = \tfrac{1}{2}(\exp(iz)+\exp(-iz))[/mm] gilt? Für alle [mm]z\in\mathbb{R}[/mm] wäre es einfach, aber so führt der Weg wohl nur über die Potenzreihendefinitionen von sin und cos, oder? Ich hab's versucht, scheitere aber an den Cauchy-Produkten. Das Cauchy-Produkt sieht für zwei absolut konvergente Reihen allgemein so aus:


[mm]\left(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\right)\left(\sum_{m=1}^{\infty}{b_m}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}\right).[/mm]


Man erhält hier:


[mm]-z^3\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^k{\frac{(-1)^{k}}{(2j+1)!(2k-2j+3)!}z^{2k+j}}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^k{\frac{(-1)^k}{(2j)!(2k-2j+2)!}z^{4kj-4j^2+4j}}\right),[/mm]


wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber wie zeigt man weiter, daß diese Summe gleich 1 ist?



Vielen Dank für die Hilfe!



Viele Grüße
Karl





        
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Sa 31.05.2008
Autor: felixf

Hallo Karl,

> Wie kann man zeigen, daß für alle [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] gilt:
> [mm]\sin^2 z + \cos^2 z = 1[/mm] ohne dabei zu benutzen, daß [mm]\sin z = \tfrac{1}{2i}(\exp(iz)-\exp(-iz))[/mm]
> und [mm]\cos z = \tfrac{1}{2}(\exp(iz)+\exp(-iz))[/mm] gilt? Für
> alle [mm]z\in\mathbb{R}[/mm] wäre es einfach,

... und dann wendet man den Identitaetssatz an [mm] ($\sin^2 [/mm] z + [mm] \cos^2 [/mm] z$ ist ja eine holomorphe Funktion) und ist fertig ;-)

Aber ok, machen wir es mal zu Fuss.

> aber so führt der Weg
> wohl nur über die Potenzreihendefinitionen von sin und cos,
> oder? Ich hab's versucht, scheitere aber an den
> Cauchy-Produkten. Das Cauchy-Produkt sieht für zwei absolut
> konvergente Reihen allgemein so aus:
>  
>
> [mm]\left(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\right)\left(\sum_{m=1}^{\infty}{b_m}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}\right).[/mm]

Es gibt ja auch noch eine Spezialversion fuer Potenzreihen: [mm] $\left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \cdot \left( \sum_{m=0}^\infty b_m x^m \right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n a_m b_{n-m} \right) x^n$. [/mm] Die eignet sich hier vermutlich besser, da du dann nicht muehsam die $x$-Potenzen sortieren musst.

Ok, so ganz direkt kann man das nicht verwenden, aber zumindest die Idee :-)

Wir haben ja:
[mm] $\sin [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ [/mm]
und
[mm] $\cos [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2 n}}{(2 n)!}$. [/mm]

Man sieht also, dass bei [mm] $\sin^2 [/mm] x$ und [mm] $\cos^2 [/mm] x$ nur gerade Potenzen von $x$ auftauchen. Die Reihen sind also von der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty [/mm] ... [mm] x^{2 n}$. [/mm]

Fangen wir mal mit dem Cosinus an, der ist einfacher. Wenn wir so tun, als wenn [mm] $x^2 [/mm] = y$ waere, dann ist [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2 n)!} y^n$. [/mm] Hier kommen wir also mit der Formel weiter, damit ist [mm] $\cos^2 [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(2 m)!} \frac{(-1)^{n - m}}{(2 n - 2 m)!} y^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(2 m)!} \frac{(-1)^{n - m}}{(2 n - 2 m)!} x^{2 n}$. [/mm] Du hast hier also den Koeffizienten [mm] $\sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(2 m)!} \frac{(-1)^{n - m}}{(2 n - 2 m)!} [/mm] = [mm] (-1)^n \sum_{m=0}^n \frac{1}{(2 m)! (2 n - 2 m)!}$ [/mm] von [mm] $x^{2 n}$. [/mm]

Jetzt zum Sinus. Der Koeffizient von [mm] $x^{2 n}$ [/mm] setzt sich ja aus den Koeffizienten von [mm] $x^{2 a + 1}$ [/mm] und [mm] $x^{2 b + 1}$ [/mm] zusammen mit $2 a + 1 + 2 b + 1 = 2 n$, also $a + b + 1 = n$. Wenn der Koeffizient von [mm] $x^{2 n + 1}$ [/mm] in [mm] $\sin [/mm] x$ mit [mm] $K_n$ [/mm] bezeichnet wird, ergibt sich der Koeffizient von [mm] $x^{2 n}$ [/mm] im Produkt [mm] $\sin^2 [/mm] x$ also durch [mm] $\sum_{m=0}^{n-1} K_m K_{n-1-m}$. [/mm]

Nun ist [mm] $K_n [/mm] = [mm] \frac{(-1)^n}{(2 n + 1)!}$, [/mm] also ist [mm] $\sum_{m=0}^{n-1} K_m K_{n-1-m} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^m (-1)^{n-1-m}}{(2 m + 1)! (2 n - 2 - 2 m + 1)!} [/mm] = [mm] (-1)^{n - 1} \sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{(2 m + 1)! (2 n - 2 m - 1)!}$. [/mm]

Damit heben sich die Vorzeichen schonmal passend auf, du musst also [mm] $\sum_{m=0}^n \frac{1}{(2 m)! (2 n - 2 m)!} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{(2 m + 1)! (2 n - 2 m - 1)!}$ [/mm] zeigen.

Dazu hab ich noch einen Tipp: betrachte doch mal $(-1 + [mm] 1)^{2 n}$ [/mm] bzw. mit Exponenten $2 n [mm] \pm [/mm] 1$ und zieh das mit dem Binomischen Lehrsatz auseinander, und schreib die Binomialkoeffizienten aus. Der Zaehler ist ueberall gleich, den kannst du damit wegkuerzen (auf der anderen Seite der Gleichung steht ja $0$).

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Sa 31.05.2008
Autor: Gilga

Satz des Pythagoras im Einheitskreis!

Bezug
                
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:50 So 01.06.2008
Autor: Karl_Pech

Hallo Felix! Hallo Gilga!


Felix, vielen Dank für die superausführliche Antwort! Jetzt versuche ich sie mal nachzuvollziehen! ;-)


@Gilga: Ich dachte zuerst auch, daß sei eine simple Anwendung der []Eulerschen Identität. Nur leider stand bereits auf der Wiki-Seite:

Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio, veröffentlicht in Lausanne 1748
unter der Voraussetzung [mm]\varphi\in\mathbb{R}[/mm], sie gilt jedoch auch für alle komplexen Argumente [mm]\varphi\in\mathbb{C}[/mm].


Nur hilft mir die letzte Bemerkung in der Wiki nicht, da wir die Eulerformel nur für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] eingeführt haben und (Ko-)Sinus als eine komplexe Potenzreihe.


Grüße
Karl




Bezug
                        
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 So 01.06.2008
Autor: felixf

Hallo Karl!

> @Gilga: Ich dachte zuerst auch, daß sei eine simple
> Anwendung der
> []Eulerschen Identität.
> Nur leider stand bereits auf der Wiki-Seite:
>  
> Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio,
> veröffentlicht in Lausanne 1748
> unter der Voraussetzung [mm]\varphi\in\mathbb{R}[/mm], sie gilt
> jedoch auch für alle komplexen Argumente
> [mm]\varphi\in\mathbb{C}[/mm].
>  
> Nur hilft mir die letzte Bemerkung in der Wiki nicht, da
> wir die Eulerformel nur für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] eingeführt haben
> und (Ko-)Sinus als eine komplexe Potenzreihe.

Du kannst dir die Eulerformel ``ganz allgemein'' sehr einfach mit Hilfe der Reihenentwicklungen herleiten: schreibe die Reihenentwicklung von [mm] $\exp(i [/mm] z)$ hin -- die erhaelst du aus der Reihenentwicklung von [mm] $\exp(i [/mm] z)$ und der Betrachtung, wie [mm] $i^n$ [/mm] fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] aussieht -- und vergleich das mit der Reihenentwicklung von [mm] $\cos [/mm] z + i [mm] \sin [/mm] z$. Und tada, schon steht's da :-)

(Oder, wie schon gesagt, bentuze den Identitaetssatz, wenn du ihn hast: du weisst, dass $f(z) := [mm] e^{i z} [/mm] - [mm] \cos [/mm] z - i [mm] \sin [/mm] z = 0$ ist fuer alle $z [mm] \in \IR$, [/mm] und da die Funktion $f$ holomorph auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] ist, folgt daraus, dass sie auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] identisch 0 ist.)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 So 01.06.2008
Autor: Karl_Pech

Felix ...


> Du kannst dir die Eulerformel ''ganz allgemein'' sehr
> einfach mit Hilfe der Reihenentwicklungen herleiten:

> Und tada, schon steht's da :-)


... du hast mich da auf eine entscheidene Idee gebracht!! Danke! [huepf] Man zeige, durch einfaches Einsetzen in die entsprechenden komplexen Reihendarstellungen:


[mm]\forall z\in \mathbb{C}:\sin (-z) = -\sin z[/mm]
[mm]\forall z\in \mathbb{C}:\cos z = \cos(-z)[/mm]


Anschließend erinnere man sich an die 3te binomische Formel und denke nochmal an [mm]i^2 = -1[/mm]. Zusammen mit der zuvor [mm]\forall z\in \mathbb{C}[/mm] bewiesenen Euleridentität, erhält man dann die Lösung wie auf dem Präsentierteller serviert. [breakdance]




Bezug
        
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 So 01.06.2008
Autor: Leopold_Gast

Wenn du es mit Ableitungen tun willst und darfst, brauchst du nur

[mm]f(z) = \sin^2 z \ + \cos^2 z[/mm]

einmal zu differenzieren und [mm]f(0)[/mm] zu berechnen.

Bezug
                
Bezug
Sinus und Kosinus im Komplexen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 So 01.06.2008
Autor: felixf

Hallo,

> Wenn du es mit Ableitungen tun willst und darfst, brauchst
> du nur
>  
> [mm]f(z) = \sin^2 z \ + \cos^2 z[/mm]
>  
> einmal zu differenzieren und [mm]f(0)[/mm] zu berechnen.

ui, stimmt, das geht ja extrem viel einfacher! :)

LG Felix



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]