Sinus und Kosinus im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Wie kann man zeigen, daß für alle [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] gilt: [mm]\sin^2 z + \cos^2 z = 1[/mm] ohne dabei zu benutzen, daß [mm]\sin z = \tfrac{1}{2i}(\exp(iz)-\exp(-iz))[/mm] und [mm]\cos z = \tfrac{1}{2}(\exp(iz)+\exp(-iz))[/mm] gilt? Für alle [mm]z\in\mathbb{R}[/mm] wäre es einfach, aber so führt der Weg wohl nur über die Potenzreihendefinitionen von sin und cos, oder? Ich hab's versucht, scheitere aber an den Cauchy-Produkten. Das Cauchy-Produkt sieht für zwei absolut konvergente Reihen allgemein so aus:
[mm]\left(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\right)\left(\sum_{m=1}^{\infty}{b_m}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}\right).[/mm]
Man erhält hier:
[mm]-z^3\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^k{\frac{(-1)^{k}}{(2j+1)!(2k-2j+3)!}z^{2k+j}}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^k{\frac{(-1)^k}{(2j)!(2k-2j+2)!}z^{4kj-4j^2+4j}}\right),[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber wie zeigt man weiter, daß diese Summe gleich 1 ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Sa 31.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Karl,
> Wie kann man zeigen, daß für alle [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] gilt:
> [mm]\sin^2 z + \cos^2 z = 1[/mm] ohne dabei zu benutzen, daß [mm]\sin z = \tfrac{1}{2i}(\exp(iz)-\exp(-iz))[/mm]
> und [mm]\cos z = \tfrac{1}{2}(\exp(iz)+\exp(-iz))[/mm] gilt? Für
> alle [mm]z\in\mathbb{R}[/mm] wäre es einfach,
... und dann wendet man den Identitaetssatz an [mm] ($\sin^2 [/mm] z + [mm] \cos^2 [/mm] z$ ist ja eine holomorphe Funktion) und ist fertig 
Aber ok, machen wir es mal zu Fuss.
> aber so führt der Weg
> wohl nur über die Potenzreihendefinitionen von sin und cos,
> oder? Ich hab's versucht, scheitere aber an den
> Cauchy-Produkten. Das Cauchy-Produkt sieht für zwei absolut
> konvergente Reihen allgemein so aus:
>
>
> [mm]\left(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\right)\left(\sum_{m=1}^{\infty}{b_m}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}\right).[/mm]
Es gibt ja auch noch eine Spezialversion fuer Potenzreihen: [mm] $\left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \cdot \left( \sum_{m=0}^\infty b_m x^m \right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n a_m b_{n-m} \right) x^n$. [/mm] Die eignet sich hier vermutlich besser, da du dann nicht muehsam die $x$-Potenzen sortieren musst.
Ok, so ganz direkt kann man das nicht verwenden, aber zumindest die Idee 
Wir haben ja:
[mm] $\sin [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$
[/mm]
und
[mm] $\cos [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2 n}}{(2 n)!}$.
[/mm]
Man sieht also, dass bei [mm] $\sin^2 [/mm] x$ und [mm] $\cos^2 [/mm] x$ nur gerade Potenzen von $x$ auftauchen. Die Reihen sind also von der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty [/mm] ... [mm] x^{2 n}$.
[/mm]
Fangen wir mal mit dem Cosinus an, der ist einfacher. Wenn wir so tun, als wenn [mm] $x^2 [/mm] = y$ waere, dann ist [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2 n)!} y^n$. [/mm] Hier kommen wir also mit der Formel weiter, damit ist [mm] $\cos^2 [/mm] x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(2 m)!} \frac{(-1)^{n - m}}{(2 n - 2 m)!} y^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(2 m)!} \frac{(-1)^{n - m}}{(2 n - 2 m)!} x^{2 n}$. [/mm] Du hast hier also den Koeffizienten [mm] $\sum_{m=0}^n \frac{(-1)^m}{(2 m)!} \frac{(-1)^{n - m}}{(2 n - 2 m)!} [/mm] = [mm] (-1)^n \sum_{m=0}^n \frac{1}{(2 m)! (2 n - 2 m)!}$ [/mm] von [mm] $x^{2 n}$.
[/mm]
Jetzt zum Sinus. Der Koeffizient von [mm] $x^{2 n}$ [/mm] setzt sich ja aus den Koeffizienten von [mm] $x^{2 a + 1}$ [/mm] und [mm] $x^{2 b + 1}$ [/mm] zusammen mit $2 a + 1 + 2 b + 1 = 2 n$, also $a + b + 1 = n$. Wenn der Koeffizient von [mm] $x^{2 n + 1}$ [/mm] in [mm] $\sin [/mm] x$ mit [mm] $K_n$ [/mm] bezeichnet wird, ergibt sich der Koeffizient von [mm] $x^{2 n}$ [/mm] im Produkt [mm] $\sin^2 [/mm] x$ also durch [mm] $\sum_{m=0}^{n-1} K_m K_{n-1-m}$.
[/mm]
Nun ist [mm] $K_n [/mm] = [mm] \frac{(-1)^n}{(2 n + 1)!}$, [/mm] also ist [mm] $\sum_{m=0}^{n-1} K_m K_{n-1-m} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^m (-1)^{n-1-m}}{(2 m + 1)! (2 n - 2 - 2 m + 1)!} [/mm] = [mm] (-1)^{n - 1} \sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{(2 m + 1)! (2 n - 2 m - 1)!}$.
[/mm]
Damit heben sich die Vorzeichen schonmal passend auf, du musst also [mm] $\sum_{m=0}^n \frac{1}{(2 m)! (2 n - 2 m)!} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{(2 m + 1)! (2 n - 2 m - 1)!}$ [/mm] zeigen.
Dazu hab ich noch einen Tipp: betrachte doch mal $(-1 + [mm] 1)^{2 n}$ [/mm] bzw. mit Exponenten $2 n [mm] \pm [/mm] 1$ und zieh das mit dem Binomischen Lehrsatz auseinander, und schreib die Binomialkoeffizienten aus. Der Zaehler ist ueberall gleich, den kannst du damit wegkuerzen (auf der anderen Seite der Gleichung steht ja $0$).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Gilga |
Satz des Pythagoras im Einheitskreis!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Karl!
> @Gilga: Ich dachte zuerst auch, daß sei eine simple
> Anwendung der
> ![[]](/images/popup.gif) Eulerschen Identität.
> Nur leider stand bereits auf der Wiki-Seite:
>
> Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio,
> veröffentlicht in Lausanne 1748
> unter der Voraussetzung [mm]\varphi\in\mathbb{R}[/mm], sie gilt
> jedoch auch für alle komplexen Argumente
> [mm]\varphi\in\mathbb{C}[/mm].
>
> Nur hilft mir die letzte Bemerkung in der Wiki nicht, da
> wir die Eulerformel nur für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] eingeführt haben
> und (Ko-)Sinus als eine komplexe Potenzreihe.
Du kannst dir die Eulerformel ``ganz allgemein'' sehr einfach mit Hilfe der Reihenentwicklungen herleiten: schreibe die Reihenentwicklung von [mm] $\exp(i [/mm] z)$ hin -- die erhaelst du aus der Reihenentwicklung von [mm] $\exp(i [/mm] z)$ und der Betrachtung, wie [mm] $i^n$ [/mm] fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] aussieht -- und vergleich das mit der Reihenentwicklung von [mm] $\cos [/mm] z + i [mm] \sin [/mm] z$. Und tada, schon steht's da
(Oder, wie schon gesagt, bentuze den Identitaetssatz, wenn du ihn hast: du weisst, dass $f(z) := [mm] e^{i z} [/mm] - [mm] \cos [/mm] z - i [mm] \sin [/mm] z = 0$ ist fuer alle $z [mm] \in \IR$, [/mm] und da die Funktion $f$ holomorph auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] ist, folgt daraus, dass sie auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] identisch 0 ist.)
LG Felix
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Wenn du es mit Ableitungen tun willst und darfst, brauchst du nur
[mm]f(z) = \sin^2 z \ + \cos^2 z[/mm]
einmal zu differenzieren und [mm]f(0)[/mm] zu berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Wenn du es mit Ableitungen tun willst und darfst, brauchst
> du nur
>
> [mm]f(z) = \sin^2 z \ + \cos^2 z[/mm]
>
> einmal zu differenzieren und [mm]f(0)[/mm] zu berechnen.
ui, stimmt, das geht ja extrem viel einfacher! :)
LG Felix
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![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
Man zeige, durch einfaches Einsetzen in die entsprechenden komplexen Reihendarstellungen:
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]"){kind=small}
