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| Aufgabe | | Berechnen sie eine rationale Näherung von sin(1) so, dass der Fehler kleiner als 10^-3 ist. |
Hallo!
Ich bin grad mitten in der Vorbereitung auf meine Klausur am Samstag und will dafür diese Aufgabe lösen.
Mein Ansatz dafür ist, dass ich das den Sinus in eine (Taylor)Reihe (um 1) entwickle und dann das Restglied abschätze, ab wann es <10^-3 wird.
(mir wurde auch schon gesagt, dass der Ansatz richtig ist)
Das würde mich dann zu folgender Darstellung bringen
sin(x) = Taylor(sin(x) um 1) + LagrangeRestglied(x)
Dann würde ich entsprechend ausrechnen, ab was für einem n das Restglied <10^-3 wird, und dann das Taylorpolynom nach dem n-ten Glied abschneiden und x=1 einsetzen.
So weit so gut.
Aber: Da stehen wenn ich Taylor um 1 mache dann immer noch überall Terme mit sin(1) und cos(1) da hilft mir ja nicht weiter...
Jetzt habe ich aber als Tipp bekommen, dass man die Reihe um Null entwickeln soll.
Nur kann ich mir jetzt leider nicht vorstellen, was das bringen soll? Klar, sin(0) und cos(0) kenne ich, aber wie passt das mathematisch hier rein? Ich kenne auch die Reihendarstellung vom Sinus um den Punkt 0 - aber ich sehe nicht ein, was ich damit machen kann, bzw was mir das bringt? Ich soll ja schließlich sin(1) berechnen!?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
lg,
rapaletta
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rapaletta2,
> Berechnen sie eine rationale Näherung von sin(1) so, dass
> der Fehler kleiner als 10^-3 ist.
> Hallo!
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> Ich bin grad mitten in der Vorbereitung auf meine Klausur
> am Samstag und will dafür diese Aufgabe lösen.
>
> Mein Ansatz dafür ist, dass ich das den Sinus in eine
> (Taylor)Reihe (um 1) entwickle und dann das Restglied
> abschätze, ab wann es <10^-3 wird.
> (mir wurde auch schon gesagt, dass der Ansatz richtig
> ist)
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>
> Das würde mich dann zu folgender Darstellung bringen
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> sin(x) = Taylor(sin(x) um 1) + LagrangeRestglied(x)
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> Dann würde ich entsprechend ausrechnen, ab was für einem
> n das Restglied <10^-3 wird, und dann das Taylorpolynom
> nach dem n-ten Glied abschneiden und x=1 einsetzen.
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> So weit so gut.
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> Aber: Da stehen wenn ich Taylor um 1 mache dann immer noch
> überall Terme mit sin(1) und cos(1) da hilft mir ja nicht
> weiter...
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> Jetzt habe ich aber als Tipp bekommen, dass man die Reihe
> um Null entwickeln soll.
> Nur kann ich mir jetzt leider nicht vorstellen, was das
> bringen soll? Klar, sin(0) und cos(0) kenne ich, aber wie
> passt das mathematisch hier rein? Ich kenne auch die
> Reihendarstellung vom Sinus um den Punkt 0 - aber ich sehe
> nicht ein, was ich damit machen kann, bzw was mir das
> bringt? Ich soll ja schließlich sin(1) berechnen!?
Wenn Du um den Entwicklungspunkt x=1 entwickelst,
dann ist der Fehler gleich Null. Demnach ist nix
mit der rationalen Näherung.
Die Taylorreihe des Sinus um den Enwicklungspunkt 0 ist bekannt.
Weiterhin ist auch das LagrangeRestglied bekannt.
Schätze also das LagrangeRestglied so ab,
dass die Fehlerschranke erfüllt ist.
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> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
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> lg,
> rapaletta
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Berechnen sie eine rationale Näherung von sin(1) so, dass der Fehler kleiner als 10^-3 ist. |
Ich entwickle also um 0 und kriege eine Funktion von x.
Weiter habe ich dann das Restglied abgeschätzt und es kam raus, dass das Taylorpolynom mit Grad 6 schon eine entsprechend kleine Fehler hat.
Warum kann ich da dann 1 einsetzen, ohne dass das Probleme gibt?
Also, die Frage ist wohl etwas komisch formuliert, deshalb mal die Aufgabe ausführlich:
Ich weiß dass sin(x) = T(x) + R(x)
wobei T(x) das Taylorpolynom und R(x) das Lagrangesche Restglied ist.
Wenn ich eine rationale Näherung von sin(1) mit Fehler <10^-3 berechnen will muss ich also schauen ab wo das Restglied <10^-3 wird.
Die Rechnung überspringe ich, das Ergebnis ist aber für m>=6.
Also Entwickle ich nun das Taylorpolynom in 0 mit dem Grad 6.
Das ist dann gleich 1 - [mm] (1/6)x^3 [/mm] + [mm] (1/120)x^5 [/mm] (die restliche Terme sind 0 weil sin0=0).
Wenn ich in diesen Taylorpolynom jetzt x=1 einsetze dann bekomme ich als Ergebnis 101/120, das tatsächlich eine sehr gute Näherung für sin(1) ist (eben wie gefordert).
Was ich jetzt aber nicht verstanden habe, ist warum ich wirklich x=1 in der Taylorpolynom __im Entwicklungspunkt 0__ einsetzen darf.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
In Deinem speziellen Fall lautet der Satz von Taylor so (Entw.-punkt = 0, ausgewertet wird in x=1): Mit $f(x) = sin(x)$ ist
$sin(1)= [mm] T_n(1)+R_n(1)$
[/mm]
wobei
[mm] $T_n(1) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(1-0)^k= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}$
[/mm]
und
[mm] $R_n(1) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(1-0)^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}$, [/mm] s zwischen 0 und 1
FRED
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