Sinus vereinfachen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 01.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Sinus vereinfachen:
Bringen Sie die rechte Seite jeweils in die Form $A sin(k [mm] \cdot{} [/mm] t + B)$:
[mm] $f_1(t) [/mm] := sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4})$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
die Funktion [mm] f_1(t) [/mm] als erstes mit Additionstheorem umformen:
[mm] $f_1(t) [/mm] := sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
Durch die weiteren Zusammenhänge:
[mm] $cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
[mm] $cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
$cos(2t) = sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2})$
[/mm]
ergibt sich folgendes:
$= sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] =$
$= 2[sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] [/mm] + sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] - sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] =$
$= 2[sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] [/mm] =$
$= 2 sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4})$
[/mm]
Stimmt dies?
Vielen Dank im Voraus,
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sinus vereinfachen:
> Bringen Sie die rechte Seite jeweils in die Form [mm]A sin(k \cdot{} t + B)[/mm]:
>
> [mm]f_1(t) := sin(2t + \bruch{\pi}{4}) + sin(2t - \bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> die Funktion [mm]f_1(t)[/mm] als erstes mit Additionstheorem
> umformen:
>
> [mm]f_1(t) := sin(2t + \bruch{\pi}{4}) + sin(2t - \bruch{\pi}{4}) = sin(2t) \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t) \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Durch die weiteren Zusammenhänge:
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{4}) = sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]cos(-\bruch{\pi}{4}) = sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
> [mm]cos(2t) = sin(2t + \bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> ergibt sich folgendes:
>
> [mm]= sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) =[/mm]
>
> [mm]= 2[sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] + sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) - sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) =[/mm]
>
> [mm]= 2[sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] =[/mm]
>
Bis hierhin stimmts
Das folgt allerdings schon hieraus
$ sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] $
denn
[mm] $sin(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] -sin(\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
> [mm]= 2 sin(2t + \bruch{\pi}{4})[/mm]
>
Das verstehe ich nicht
Übrigends: [mm] $sin(\pi/4) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
FRED
> Stimmt dies?
>
> Vielen Dank im Voraus,
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 01.04.2009 | | Autor: | itse |
Danke für die Antwort.
Somit wäre:
$ = 2[sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] [/mm] = 2[sin(2t) [mm] \cdot{} \bruch{1}{\wurzel{2}}] [/mm] = [mm] \bruch{2 sin(2t)}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Es soll aber in der folgender Form:
$ A [mm] \cdot{} [/mm] sin(k [mm] \cdot{} [/mm] t + B) $ erscheinen.
Wie kann man dies erreichen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Das hast Du doch:
[mm] $\bruch{2 sin(2t)}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2}sin(2t) [/mm] $
mit $A = [mm] \wurzel{2}, [/mm] k= 2, B = 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 01.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
habe ich beim Auflösen des zweiten Terms nicht einen Fehler gemacht?
denn sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] - cos(2t) [mm] \cdot{} [/mm] sin(- [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm]
oder?
Wenn dem so wäre, würde sich der Term nicht wegkürzen.
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mi 01.04.2009 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Nein jetzt hast du nen Fehler.
entweder das Additionsth. mit sin(a-b) wie dus jetzt geschrieben hast, aber dann steht da nicht sin(-\pi/4)
oder das mit sin(a+b) mit b=-\pi/4
Vorher wars richtig. nur deine Umformung zu lang.
Aus
$ f_1(t) := sin(2t + \bruch{\pi}{4}) + sin(2t - \bruch{\pi}{4}) = sin(2t) \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t) \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) $
und cos(\p/4)=cos(-\pi/4}=sin(\pi/4)=-sin(-\pi/4)
folgt sofort 2*cos(\pi/4)*sin(2t)=\wurzel{2}*sin(2t)
Gruss leduart
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