Sinusfkt. Teilung in 2 Flächen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegen ist Funktion f durch
$f(x) = [mm] 2*sin\left(\bruch{\pi}{6}*x\right)$
[/mm]
[mm] x\in[0,12]. [/mm] Ihr Schaubild sei K.
b) Eine Ursprungsgerade mit der Steigung m > 0 schneidet K im Punkt S(s|f(s)). K und g umschließen eine Fläche. K, g und die Gerade x = 6 umschließen eine weitere Fläche. Bestimmen Sie, ohne s zu berechnen, m so, dass die Inhalte der beiden Flächen gleich sind. Begründen Sie, dass s in diesem Fall im Intervall [4,5] liegt. |
Hallo!
Die obige Aufgabe stammt aus einer Abi-MatheLK-Vorbereitungsaufgabe. Ich habe schon viel probiert, um die Aufgabe zu lösen, aber irgendwie will gerade gar nichts funktionieren. Das Problem ist, dass ich den Schnittpunkt von f und g(x) = m*x gar nicht ausrechnen kann, und dadurch mir am Ende eine Gleichung fehlt:
$f(x) = g(x)$
[mm] $2*sin\left(\bruch{\pi}{6}*x\right) [/mm] = m*x$
...
Oder verlangt das die Aufgabe gar nicht?
Ich habe hier mal ein Bild von K, damit man sich es besser vorstellen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Fläche unter f im Intervall von 0 bis 6 beträgt [mm] \bruch{24}{\pi}. [/mm] Wenn ich eine Teilfläche ausrechne und mit der Hälfte davon = [mm] \bruch{12}{\pi} [/mm] gleichsetze, bringt das auch nichts.
Könntet ihr mir bitte einen Ansatz geben, wie ich die Aufgabe lösen kann?
Vielen Dank für Eure Mühe,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, steppenhahn,
> Gegen ist Funktion f durch
>
> [mm]f(x) = 2*sin\left(\bruch{\pi}{6}*x\right)[/mm]
>
> [mm]x\in[0,12].[/mm] Ihr Schaubild sei K.
>
> b) Eine Ursprungsgerade mit der Steigung m > 0 schneidet K
> im Punkt S(s|f(s)). K und g umschließen eine Fläche. K, g
> und die Gerade x = 6 umschließen eine weitere Fläche.
> Bestimmen Sie, ohne s zu berechnen, m so, dass die Inhalte
> der beiden Flächen gleich sind. Begründen Sie, dass s in
> diesem Fall im Intervall [4,5] liegt.
>
> [mm]f(x) = g(x)[/mm]
> [mm]2*sin\left(\bruch{\pi}{6}*x\right) = m*x[/mm]
> ...
> Oder verlangt das die Aufgabe gar nicht?
Du SOLLST (!) den Schnittpunkt laut Aufgabenstellung ("ohne s zu berechnen"!) gar nicht ermitteln!
> Die Fläche unter f im Intervall von 0 bis 6 beträgt
> [mm]\bruch{24}{\pi}.[/mm] Wenn ich eine Teilfläche ausrechne und mit
> der Hälfte davon = [mm]\bruch{12}{\pi}[/mm] gleichsetze, bringt das
> auch nichts.
Du hast nicht genau genug gelesen!
Die Gerade y=mx soll nicht die Fläche unter der Sinuskurve halbieren, sondern die linke Fläche zwischen Graph und Gerade soll genauso groß sein wie das (ich nenn's mal) "Dreieck" auf der rechten Seite zwischen x=6, der Geraden und dem Graphen!
Daher musst Du folgenden Ansatz machen:
[mm] \integral_{0}^{s}{(f(x)-mx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{s}^{6}{(mx-f(x)) dx}
[/mm]
Ich vermute, dabei fällt das s raus und Du kannst m ausrechnen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegen ist Funktion f durch
>
> [mm]f(x) = 2*sin\left(\bruch{\pi}{6}*x\right)[/mm]
>
> [mm]x\in[0,12].[/mm] Ihr Schaubild sei K.
>
> b) Eine Ursprungsgerade mit der Steigung m > 0 schneidet K
> im Punkt S(s|f(s)). K und g umschließen eine Fläche. K, g
> und die Gerade x = 6 umschließen eine weitere Fläche.
> Bestimmen Sie, ohne s zu berechnen, m so, dass die Inhalte
> der beiden Flächen gleich sind. Begründen Sie, dass s in
> diesem Fall im Intervall [4,5] liegt.
> Hallo!
>
> Die obige Aufgabe stammt aus einer
> Abi-MatheLK-Vorbereitungsaufgabe. Ich habe schon viel
> probiert, um die Aufgabe zu lösen, aber irgendwie will
> gerade gar nichts funktionieren. Das Problem ist, dass ich
> den Schnittpunkt von f und g(x) = m*x gar nicht ausrechnen
> kann, und dadurch mir am Ende eine Gleichung fehlt:
>
> [mm]f(x) = g(x)[/mm]
> [mm]2*sin\left(\bruch{\pi}{6}*x\right) = m*x[/mm]
> ...
> Oder verlangt das die Aufgabe gar nicht?
>
> Ich habe hier mal ein Bild von K, damit man sich es besser
> vorstellen kann:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die Fläche unter f im Intervall von 0 bis 6 beträgt
> [mm]\bruch{24}{\pi}.[/mm] Wenn ich eine Teilfläche ausrechne und mit
> der Hälfte davon = [mm]\bruch{12}{\pi}[/mm] gleichsetze, bringt das
> auch nichts.
>
> Könntet ihr mir bitte einen Ansatz geben, wie ich die
> Aufgabe lösen kann?
>
> Vielen Dank für Eure Mühe,
>
> Stefan
>
>
Hallo Steppenhahn,
wenn [mm] F_1=F_2 [/mm] gilt, dann gilt unter Hinzunahme einer beliebigen anderen Fläche [mm] F_3 [/mm] auch [mm] F_1+F_3=F_2+F_3.
[/mm]
Diese ominöse Fläche [mm] F_3 [/mm] würde ich ebenfalls im Intervall [0;6] suchen...
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Sa 28.02.2009 | | Autor: | glie |
Hallo abakus,
das ist an Genialität und Einfachheit nicht mehr zu überbieten....tolle Lösung
Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> das ist an Genialität und Einfachheit nicht mehr zu
> überbieten....tolle Lösung
>
> Glie
Hallo Glie,
übertreib mal nicht. Trotzdem danke.
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 28.02.2009 | | Autor: | glie |
Das schöne ist doch, dass man hier immer wieder was lernt, ich hätte das jetzt einfach viel komplizierter gelöst.
Hätte auch geklappt aber so ists einfach schöner.
Gruß Glie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, zunächst mal die Flächen
[Dateianhang nicht öffentlich]
der Ansatz von Zwerglein ist korrekt, s fällt wunderbar raus [mm] m=\bruch{4}{3\pi}
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Abakus, hallo Zwerglein, hallo Steffi,
vielen Dank für eure Korrektur und Lösungen! Ich habe wirklich mit der falschen Fläche gerechnet, da konnte das ja nichts werden! Jetzt hab ichs verstanden 
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo!
Habt ihr noch eine Idee, wie man relativ schnell und einfach begründen könnte, dass [mm] s\in[4,5] [/mm] ist? Mir fallen nur Rechnungen ein. Also zum Beispiel dass ich die Fläche des Dreiecks, das durch m*x, die x-Achse und x = 6 begrenzt wird, dessen Fläche ich ja [mm] kenne:24/\pi, [/mm] jeweils auch nochmal für s = 4 und s = 5 ausrechne und zeige, dass [mm] 24/\pi [/mm] dazwischen liegt.
Danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo, begründen bedeutet doch aber nicht, dass eine Rechnung verboten ist, berechne doch mal:
f(4) und g(4), wobei g(x) deine Ursprungsgerade ist
f(5) und g(5)
Steffi
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