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Ich muss zu diversen Vektorfeldern, falls möglich, die dazugehörigen Skalarfelder angeben. WIe rechne ich das allgemein? Das Skalarfeld mal den Nabla Operator müsste ja dsa gegebene Vektorfeld ergeben, aber wie löse ich die Gleichung?
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
Kannst du mal ein Beispiel der Aufgaben posten? Daran kann man das immer am einfachsten erklären.
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Hallo Richman1905,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich muss zu diversen Vektorfeldern, falls möglich, die
> dazugehörigen Skalarfelder angeben. WIe rechne ich das
> allgemein? Das Skalarfeld mal den Nabla Operator müsste ja
> dsa gegebene Vektorfeld ergeben, aber wie löse ich die
> Gleichung?
Zunächst mußt Du prüfen, ob es ein solches Skalarfeld geben kann.
Dazu prüft man die ![[]](/images/popup.gif) Integrabilitätsbedingungen.
> mfg
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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ja ok, alles klar und wenn ich weiss dass das Vektorfeld ein Gradientfeld ist, wie komme ich dann auf das dazugehörige Skalarfeld? kann man da nur ausprobieren? oder kann man das Skalarfeld berechnen?
mfg
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Hallo Richman1905,
> ja ok, alles klar und wenn ich weiss dass das Vektorfeld
> ein Gradientfeld ist, wie komme ich dann auf das
> dazugehörige Skalarfeld? kann man da nur ausprobieren?
> oder kann man das Skalarfeld berechnen?
Natürlich kann das Skalarfeld berechnet werden.
Ist V ein Vektorfeld mit
[mm]V\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right)=\pmat{P_{1}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right) \\ ... \\ P_{n}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right)}[/mm]
Und sind die Integrabilitätsbedingungen erfüllt,
gilt für das Skalarfeld f:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}=P_{i}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right)}[/mm]
woraus sich dann f zu
[mm] f = \integral_{}^{}{P_{i}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right) \ dx_{i}}+ C_{i}\left(x_{1}, \ ... \ , x_{i-1}, \ x_{i+1}, \ ... \, x_{n}\right), \ i=1 ... n[/mm]
ergibt.
Um auf die Funktion zu kommen, sind dann Vergleiche nötig,
d.h. wenn
[mm] f = \integral_{}^{}{P_{1}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right) \ dx_{1}}+ C_{1}\left(x_{2}, \ ... \ , x_{n}\right)[/mm]
ist, dann differenzierst Du das nach den verbleibenden Variablen [mm]x_{j}[/mm]
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{j}}=\bruch{\partial}{\partial x_{j}}\left( \ \integral_{}^{}{P_{1}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right) \ dx_{1}}+ C_{1}\left(x_{2}, \ ... \ , x_{n}\right) \ \right)=P_{j}\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{ n}\right)}, \ j=2 ... n[/mm]
Daraus erhältst Du dann das [mm]C_{1}[/mm]
Das Spielchen geht so weiter, bis alle [mm]C_{i}[/mm]'s bestimmt ist.
> mfg
Gruß
MathePower
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kann den Rechenweg nicht ganz folgen, kannst du das vieleicht mal mit einem Beispiel durchspielen?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hab mal n Beispiel rausgesucht: gegeben sei das Vektorfeld
$ {F}(x,y,z) \ = \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ \ln(z + 2) \\ \frac{y}{z + 2}\end{pmatrix} $
Man suche $\phi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} $, s.d. $F(x,y,z)=\nabla\phi(x,y,z)$
Das bedeutet beispielsweise für die 1. Komponente
$\frac{\partial\phi}{\partial x}=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}$
$\Rightarrow \phi(x,y,z)=-\arcsin(x)+\tilde\phi(y,z)$
und so weiter. Natürlich solltest du vorher überprüfen, ob ein solches $\phi$ überhaupt existieren kann.
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