Skalarpotential & Poissongl. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 23.04.2011 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass das Skalarpotential die Poisson-Gleichung erfüllt. |
Hi!
Also das Skalarpotential lautet ja wie folgt:
[mm] $\Phi(\vec{r_{1}})=\integral_{}^{}{\frac{\rho(2) \cdot dV_{2}}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0} \cdot r_{12}}}$
[/mm]
und die Poissongleichung:
[mm] $\nabla^{2} \cdot \Phi [/mm] = [mm] -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}$
[/mm]
Zum Start des Beweises will ich einfach mal das Skalarpotential in die Poisson-Gleichung einsetzen:
[mm] $\nabla^{2} \cdot \integral_{}^{}{\frac{\rho(2) \cdot dV_{2}}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0} \cdot r_{12}}} [/mm] = [mm] -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}$
[/mm]
Kann ich den beweis jetzt irgendwie weiterführen ohne das Integral wirklich berechnen zu müssen?
Denn die Gleichung müsste doch für jede beliebige Raumladungsdichte und jedes Volumen gelten(von evtl. Unstetigkeiten abgesehen)?
Mein nächster Ansatz wäre vielleicht, dass ich folgende Gleichung nutze:
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \epsilon_{0} \cdot \nabla \cdot \vec{E}$
[/mm]
und somit
[mm] $\nabla^{2} \cdot \integral_{}^{}{\frac{\epsilon_{0} \cdot \nabla \cdot \vec{E} \cdot dV_{2}}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0} \cdot r_{12}}} [/mm] = [mm] -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}$
[/mm]
bzw. über den Gaußschen Satz :
[mm] $\nabla^{2} \cdot \integral_{}^{}{\frac{\vec{E} \cdot dA_{2}}{4 \cdot \pi \cdot r_{12}}} [/mm] = [mm] -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}$
[/mm]
weiter weis ich, dass
[mm] \integral_{}^{}{\vec{E} \cdot dA} [/mm] = [mm] \frac{Q}{\epsilon_{0}} [/mm] ergibt aber da bin ich mir nicht sicher ob das weiterhilft.
Muss ich jetzt doch das Integral ausrechnen?
Wenn ja, für welches Volumen? Einfach wäre eventuell eine Kugel?
Ich muss auch gestehen, dass ich schon lange kein integral mehr gelöst habe und eventuell ich daher die Aufgabe nicht gelöst kriege....
Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich sehe hast du 1. kein allgemeines, sondern ein spezielles Potential aus der elektrostatik genommen, und das ist noch falsch.
Wie habt ihr denn Skalarpotential definiert? Notfalls in wiki nachsehen.
Gruss leduart
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