Skalarprod., lineare Abbildung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es sei g: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^n [/mm] eine Abbildung, <.,.> das kanonische Skalarprodujt und B ={ [mm] v_1,...,v_n [/mm] } eine orthonormale Basis. Zeigen Sie: g ist genau dann linear, wenn
- [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^n,\forall [/mm] i: [mm] [/mm] = [mm] + [/mm] und
- [mm] \forall \lambda \in \IR, \forall [/mm] v [mm] \in \IR^n, \forall [/mm] i: [mm] [/mm] = [mm] \lambda* [/mm] |
Hallo,
ich komm mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht, vielleicht kann mir ja einer helfen :)
g linear <=> g(x+y)=g(x)+g(y) und [mm] g(\lambda*v)=\lambda*g(v)
[/mm]
"=>":
[mm] [/mm] (wegen der Linearität von g)
= [mm] [/mm] (Linearität im ersten Argument)
= [mm] +
[/mm]
[mm] [/mm] (wegen der Linearität von g)
= [mm] <\lambda*g(v),v_i> [/mm] (Linearität im ersten Argument)
= [mm] \lambda*
[/mm]
Ist das bis hierhin okay?
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp zur Rückrichtung geben?
Ich weiß leider gar nicht wo ich anfangen soll
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Mathek |
hi ich habs mal anders rum versucht d.h. per [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A
finde da sieht mans bisschen deutlicher.. ist aber im prinzip das gleiche.
[mm] \not= \lambda \Rightarrow g(\lambda\cdot{}v)\not=\lambda\cdot{}g(v)
[/mm]
anaolog gehts dann mit den anderen gleichungen weiter...
wenn das irgendwie falsch sein, oder nicht ausreichen sollte, dann bitte melden....
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:12 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Mh, beziehst du dich grade auf die Hin- oder Rückrichtung?
Ich hab die Rückrichtung jetzt noch ein paar Mal probiert.. aber komme leider nie zu einem Ergebnis.
Ich nehme an: g(x+y) [mm] \not= [/mm] g(x)+g(y)
Nach Vorraussetzung gilt ja:
<g(x+y) -g(x) -g(y), [mm] v_i> [/mm] =0
Aber warum gilt denn hier NUR für [mm] <0,v_i> [/mm] = 0 ? Damit ich zu einem Widerspruch komme?
Wäre zB g(x+y) -g(x) -g(y) = [mm] v_j [/mm] mit j [mm] \not= [/mm] i wäre <g(x+y) -g(x) -g(y), [mm] v_i> [/mm] =0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Mathek |
fuer die rueckrichtung also [mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm] g(\lambda x)\not= \lambda [/mm] g(x) [mm] \Rightarrow \not= <\lambda g(x),v_i>
[/mm]
usw. ....
naja ich weiss nicht wie man das noch offensichtlicher zeigen soll....
waere allerdings moeglich, dass das einem mathematiker nicht reicht..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
aber aus<x,v> = <y,v> folgt leider nicht x=y
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Mathek |
echt? wieso denn nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathek!
Hier mal ein Gegenbeispiel:
[mm] $$\vektor{0\\1\\-2}*\blue{\vektor{3\\4\\2}} [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\vektor{0\\1\\-2}*\blue{\vektor{3\\-2\\-1}} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Di 06.05.2008 | | Autor: | Mathek |
:/
das <g(x),v> = <g(x),w> nicht gilt ist ja klar aber ich dachte das immer von dem selben vektor die rede ist. es steht ja
[mm] [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
und nicht
[mm] [/mm] = [mm] \lambda [/mm] z.b.
hab ich das also komplett missverstanden?
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> :/
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> das <g(x),v> = <g(x),w> nicht gilt ist ja klar
Hallo,
ja? Ich finde das gar nicht klar.
Für passende w,v gilt es doch, das hat Loddar ja gezeigt.
> aber ich
> dachte das immer von dem selben vektor die rede ist. es
> steht ja
>
> [mm][/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> und nicht
>
> [mm][/mm] = [mm]\lambda[/mm] z.b.
>
> hab ich das also komplett missverstanden?
Du behauptetest, daß aus [mm] g(\lambda x)\not= \lambda [/mm] g(x) folgt, daß [mm] \not= <\lambda g(x),v_i>.
[/mm]
Diese Behauptung stimmt nicht, und Loddar hat ein passendes Gegenbeispiel dafür gebracht:
Sei g(1* x):= [mm] \blue{\vektor{3\\4\\2}}.
[/mm]
Es ist [mm] \blue{\vektor{3\\-2\\-1}}\not=1*g(x),
[/mm]
und es ist
$ [mm] \blue{\vektor{3\\4\\2}}\cdot{}\vektor{0\\1\\-2} [/mm] \ = \ 0 $
$ [mm] \blue{\vektor{3\\-2\\-1}}\cdot{}\vektor{0\\1\\-2} [/mm] \ = \ 0 $.
(Zum Beweis der Aussage hat leduart ja schon etwas gesagt: wesentlich ist, daß $ [mm] [/mm] $ = $ [mm] \lambda [/mm] $ für alle i gilt nach Voraussetzung.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 05.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Dan
Du musst die Linearität des Skalarprodukts benutzen
[mm] =+ [/mm] und dass du durch das Skalarprodukt mit allen Basisvektoren alle Komponenten von a, b bzw a+b kriegst. und damit bist du dann mit nem direkten beweis fertig.
wichtig ist dabei 1. die Linearität des skalarprodukts und zweiten dass es für alle i gilt.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:34 Di 06.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Danke, kann man das vielleicht so machen?
g(x+y) [mm] :=\summe_{j=1}^{n}(\lambda_j*v_j)
[/mm]
g(x) := [mm] \summe_{j=1}^{n}(t_j*v_j)
[/mm]
g(y) := [mm] \summe_{j=1}^{n}(s_j*v_j)
[/mm]
Nach Umformung der Vorraussetzung erhält man:
[mm] =0
[/mm]
[mm] =<\summe_{j=1}^{n}(\lambda_j*v_j)-\summe_{j=1}^{n}(t_j*v_j)- \summe_{j=1}^{n}(s_j*v_j),v_i> [/mm] =0
[mm] =<\summe_{j=1}^{n}((\lambda_j-t_j-s_j)*v_j),v_i [/mm] > = 0
=> [mm] (\lambda_i-t_i-s_i) [/mm] = 0 (coefficient picking)
=> [mm] \lambda_i [/mm] = [mm] t_i+s_i
[/mm]
=> g(x+y) = g(x)+g(y)
ich hoffe das stimmt :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 08.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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