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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Do 15.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich hab nur mal eine kurze Frage an euch und zwar, wenn ich ein Skalarprodukt habe, ist dann <Av,Aw>=<v,w>?? wobei A eine Matrix und v,w Vektoren sind. Wäre super wichtig, schreibe in einigen Tagen die Klausur. Ich hab im Skript nichts darüber gefunden. Ach und noch etwas, also wie zeige ich denn, dass irgendeine lineare Abb eine orthogonale Abb ist?? Sagen wir mal ich hab die lineare Abb gegeben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das gilt nur, wenn A orthogonal ist. Orthogonalität kannst du dann nachprüfen, indem du die darstellende Matrix deiner Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis ausrechnest. Ist diese Matrix orthogonal, so auch deine Abbildung.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Fr 16.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich hab nur mal eine kurze Frage an euch und zwar,
> wenn ich ein Skalarprodukt habe, ist dann <Av,Aw>=<v,w>??
> wobei A eine Matrix und v,w Vektoren sind.
Dass das nicht stimmt, zeigt die Nullmatrix (A=0)
Den Rest hat Teufel erledigt
FRED
> Wäre super
> wichtig, schreibe in einigen Tagen die Klausur. Ich hab im
> Skript nichts darüber gefunden. Ach und noch etwas, also
> wie zeige ich denn, dass irgendeine lineare Abb eine
> orthogonale Abb ist?? Sagen wir mal ich hab die lineare Abb
> gegeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Super, danke! Also wenn die Matrix orthogonal ist, gilt <Av,Aw>=<v,w> liegt es daran, dass eine reelle orthogonale Matrix nur die Eigenwerte 1 uns -1 hat? Würde es sonst heissen [mm] =<\lambda*v,\mu*w> [/mm] ??
Und zur zweiten Frage, also wie zeige ich denn überhaupt, dass es sich um eine Orthogonale Abb handelt?? Indem ich zeige, dass <Av,Aw>=<v,w> weil A dann ja orthogonal wäre??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super, danke! Also wenn die Matrix orthogonal ist, gilt
> <Av,Aw>=<v,w> liegt es daran, dass eine reelle orthogonale
> Matrix nur die Eigenwerte 1 uns -1 hat? Würde es sonst
> heissen [mm]=<\lambda*v,\mu*w>[/mm] ??
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> Und zur zweiten Frage, also wie zeige ich denn überhaupt,
> dass es sich um eine Orthogonale Abb handelt?? Indem ich
> zeige, dass <Av,Aw>=<v,w> weil A dann ja orthogonal wäre??
dass eine Matrix [mm] $A\,$ [/mm] orthogonal ist erkennst Du durch denn Test, ob [mm] $A*A^T$ [/mm] die entsprechende Einheitsmatrix [mm] $E\,$ [/mm] ist. Falls dem so ist, dann ist [mm] $A\,$ [/mm] orthogonal. (Und es ist [mm] $A\,$ [/mm] genau dann orthogonal, wenn [mm] $A^T$ [/mm] orthogonal ist.)
Und nun gilt doch für orthogonales [mm] $A\,$ [/mm] und alle [mm] $v,w\,,$ [/mm] dass
[mm] $$=(Av)^TAw=v^TA^TAw=v^Tw=\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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