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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Skalarprodukt
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Skalarprodukt: Unklare Umformung..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Fr 20.08.2010
Autor: tessanie

Aufgabe
[mm] (\bruch{d}{dt} [/mm] u(t), u(t) [mm] )_{0, \Omega} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] dx

Hallo zusammen,
ich gehe gerade mein Skript zur Vorlesung Numerik partieller DGLs durch und stolpere über diese Umformung. Wahrscheinlich ist es ganz klar, warum der beiden Terme äquivalent sind, aber ich verstehe nicht, wie der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] hier rein kommt.

Also, wir haben dieses Skalarprodukt so definiert:
[mm] $(f,g)_{0, \Omega} [/mm] =  [mm] \int_{\Omega} [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g dx$

Das würde doch für unseren Fall hier bedeuten:
[mm] $(\bruch{d}{dt} [/mm] u(t), u(t) [mm] )_{0, \Omega} [/mm] = [mm] \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}u(t) \cdot [/mm] u(t) dx = [mm] \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] dx$

Wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Denkfehler ist, was ich hier übersehen habe, würde ich mich sehr freuen. Danke. :-)



PS: Ich hab diese Frage natürlich in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Fr 20.08.2010
Autor: leduart

Hallo
verwend doch mal die Kettenregel für
[mm] $\bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] $
dann hast du die Lösung deines Problems.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Fr 20.08.2010
Autor: tessanie

Danke für deine schnelle Antwort. Ich hatte befürchtet, das es so eine einfache Erklärung gibt. :-)

Also, wenn ich es richtig verstanden hab so:

[mm] $\bruch{1}{2}\int_{\Omega} \bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] dx$ mit Kettenregel
$= [mm] \bruch{1}{2}\int_{\Omega} [/mm] 2 u(t) [mm] \bruch{d}{dt}u(t) [/mm] dx$
$= [mm] \int_{\Omega} [/mm] u(t) [mm] \bruch{d}{dt}u(t) [/mm] dx$
$= [mm] \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}u(t) [/mm] u(t) dx$
$= [mm] (\bruch{d}{dt} [/mm] u(t), [mm] u(t))_{0,\Omega}$ [/mm]


Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Fr 20.08.2010
Autor: fred97

Ergänzend zu leduart:

Kann es sein, dass Du [mm] $\bruch{d}{dt}a*b$ [/mm] auffasst als [mm] \bruch{d}{dt}(a*b) [/mm] ?

Wenn ja, so liegst Du mächtig schief !

[mm] \bruch{d}{dt}a*b [/mm] = (Ableitung von a) * b

[mm] \bruch{d}{dt}(a*b) [/mm] = Ableitung von (a*b)

FRED


Bezug
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