Skalarprodukt < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 15.01.2012 | | Autor: | Xotac |
| Aufgabe | | Zeigen sie das die Abbildung< [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} &a_{3} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} }> [/mm] = [mm] a_{1}* b_{1}+2* a_{1} b_{2}+2* a_{2} b_{1}+ a_{3}b_{3} [/mm] kein Skalarprodukt von V ist. |
Hallo :)
ich habe folgendes Problem :
ich soll zeigen, dass die Abbildung< [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} &a_{3} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} }> [/mm] = [mm] a_{1}* b_{1}+2* a_{1} b_{2}+2* a_{2} b_{1}+ a_{3}b_{3} [/mm] kein Skalarprodukt von V ist.
V ={ [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3}} [/mm] ) [mm] a_{1,2,3} \in [/mm] R } , V = reelen symmetrischen 2 x 2 Matrizen.
Nun muss ich ja prüfen, ob diese Abbildung symetrisch ( <a,b> = <b,a> )
bilinear ( <(x+y),z> = <x,z>+<y,z> , <r*x,y>=r*<x,y> ) und positiv definit ist ( <x,x> >0 für x nicht 0 ).
Ich habe aber immer raus, das alle Bedingungen erfüllt sind. Hab ich was an der Definition falsch oder rechne ich iwo falsch ? Wenn ja, könnt ihr mir n Tipp geben wo ?
Danke für die Hilfe :)
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moin Xotac,
Zu aller erst einmal eine kleine Frage:
Du sagst $V$ sei die Menge der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen.
Aber das Skalarprodukt (bzw. das, was keins sein soll^^) ist nicht für alle Matrizen aus $V$ definiert sondern nur für solche, bei denen die Einträge auf der Nebendiagonalen übereinstimmen.
Oder in kurz: Du hast da zwei mal [mm] $a_1$ [/mm] bzw. [mm] $b_1$ [/mm] in deinen Matrizen stehen; soll das so sein?
Also erzähl erstmal, wie genau die Aufgabe gemeint war, denn irgend etwas stimmt da noch nicht.
Und dann poste vielleicht zumindest in kurzen Stichpunkten was du gerechnet hast, da wird ja dann wahrscheinlich ein Fehler drinn stecken, da in der Aufgabe ja nicht "beweise oder widerlege" steht.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> moin Xotac,
>
> Zu aller erst einmal eine kleine Frage:
> Du sagst [mm]V[/mm] sei die Menge der [mm]2 \times 2[/mm]-Matrizen.
> Aber
> das Skalarprodukt (bzw. das, was keins sein soll^^) ist
> nicht für alle Matrizen aus [mm]V[/mm] definiert sondern nur für
> solche, bei denen die Einträge auf der Nebendiagonalen
> übereinstimmen.
> Oder in kurz: Du hast da zwei mal [mm]a_1[/mm] bzw. [mm]b_1[/mm] in deinen
> Matrizen stehen; soll das so sein?
Du meinst [mm] $a_2$ [/mm] und [mm] $b_2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 15.01.2012 | | Autor: | Xotac |
oh Verzeihung ^^
V =( [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3}} [/mm] ) [mm] a_{1,2,3} \in [/mm] R , V = reelen symmetrischen 2 x 2 Matrizen.
Nunja, ich soll mittels der Definitionen des Skalarproduktes zeigen, dass diese Abbildung kein Skalarprodukt ist.
Also habe ich die Definitionen mittels der Matrizen aus V berechnet und geguckt, ob diese zutreffen.
Wenn ich das tue, passt alles, also ist die Abbildung bei mir ein Skalarprodukt, laut Aufgabenstellung soll dies aber nicht so sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> oh Verzeihung ^^
>
> [mm] $\red{V =\{ \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3}}:\;\; a_{1,2,3} \in \IR \}}$, [/mm] V = reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen.
ich hab' das mal korrigiert, wie es aussehen sollte!
> Nunja, ich soll mittels der Definitionen des
> Skalarproduktes zeigen, dass diese Abbildung kein
> Skalarprodukt ist.
>
> Also habe ich die Definitionen mittels der Matrizen aus V
> berechnet und geguckt, ob diese zutreffen.
>
> Wenn ich das tue, passt alles, also ist die Abbildung bei
> mir ein Skalarprodukt, laut Aufgabenstellung soll dies aber
> nicht so sein.
ich würde mal genau auf die Symmetrie gucken. Auffällig ist doch in der Definition
"< $ [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} &a_{3} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} }> [/mm] $ = $ [mm] a_{1}\cdot{} b_{1}+2\cdot{} a_{1} b_{3}+2\cdot{} a_{2} b_{1}+ a_{3}b_{3} [/mm] $"
schon, dass dort rechterhand kein [mm] $b_2$ [/mm] auftaucht. (Nächste Frage auch an Dich: hast Du die Definition von [mm] $<.,.>\,$ [/mm] hier wirklich korrekt wiedergegeben?)
Multiplizier' mal die [mm] "$B\,$-Matrix" [/mm] (d.h. lasse in [mm] $B\,$ [/mm] wirklich wie oben [mm] $b_1,b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$ [/mm] stehen) mit [mm] $A:=\pmat{1&0\\0&1}$ [/mm] sowohl von links als auch von rechts mit der obigen "Produktdefinition <.,.>". In der obigen Produktdefinition, die ich von Dir kopiert habe, siehst Du dann schon, wie man [mm] $B\,$ [/mm] so wählen kann, dass die Symmetrie verletzt wird.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 15.01.2012 | | Autor: | Xotac |
ohje, wieder falsch die Aufgabe abgeschrieben. Hab sie jetzt geändert, so ist die Aufgabe richtig.
Sorry ! Wurde gestern sehr spät beim rätseln über diese Aufgabe ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 So 15.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> ohje, wieder falsch die Aufgabe abgeschrieben. Hab sie
> jetzt geändert, so ist die Aufgabe richtig.
>
> Sorry ! Wurde gestern sehr spät beim rätseln über diese
> Aufgabe ...
Du hast aoch schon eine Menge Tipps bekommen, setze diese doch mal um. Bisher haben wir hier nämlich noch keine Rechnung deinerseits gesehen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ohje, wieder falsch die Aufgabe abgeschrieben. Hab sie
> jetzt geändert, so ist die Aufgabe richtig.
>
> Sorry ! Wurde gestern sehr spät beim rätseln über diese
> Aufgabe ...
okay, jetzt also:
$ [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} &a_{3} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} }> [/mm] $ = $ [mm] a_{1}\cdot{} b_{1}+2\cdot{} a_{1} b_{2}+2\cdot{} a_{2} b_{1}+ a_{3}b_{3} [/mm] $
Wie sieht'S denn hier wirklich mit der positiven Definitheit aus? Wenn Du hier [mm] $\,$ [/mm] berechnest, so steht doch da
[mm] $$a_1^2+4a_1a_2+a_3^2\,.$$
[/mm]
Für [mm] $a_1:=1$ [/mm] und [mm] $a_3:=\sqrt{3}$ [/mm] kann ich [mm] $a_2$ [/mm] nun wirklich einfach wählen, so dass dann
$$<A,A>=0$$
rauskommt - und hier ist [mm] $A\,$ [/mm] dann offenbar nicht die Nullmatrix.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen sie das die Abbildung< [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} &a_{3} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} }>[/mm]
> = [mm]a_{1}* b_{1}+2* a_{1} b_{3}+2* a_{2} b_{1}+ a_{3}b_{3}[/mm]
> kein Skalarprodukt von V ist.
Sprechweise: Da steht sicherlich "Skalarprodukt auf [mm] $V\,.$" [/mm] Strenggenommen ist ja ein Skalarprodukt eine Abbildung $V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR$ [/mm] mit gewissen Eigenschaften!
> Hallo :)
>
> ich habe folgendes Problem :
>
> ich soll zeigen, dass die Abbildung< [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{2} &a_{3} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} }>[/mm]
> = [mm]a_{1}* b_{1}+2* a_{1} b_{3}+2* a_{2} b_{1}+ a_{3}b_{3}[/mm]
> kein Skalarprodukt von V ist.
>
> V = 2x2 Matritzen.
Die gleiche Frage wie in der Antwort oben: Sind das wirklich alle $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen, oder eher "$2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen der obenstehenden Bauart", also wo der zweite Eintrag der ersten Zeilen mit dem ersten Eintrag der zweiten identisch sein muss?
Gruß,
Marcel
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