Skalarprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | [mm] x(a):=\begin{pmatrix} tan(a) \\ \bruch{1}{1-tan(a)^2} \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] y(a):=\begin{pmatrix} \bruch{1}{1-tan(a)^2} \\ tan(a) \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen Sie ein "a", so dass die Vektoren x(a) und y(a) normal aufeinander stehen. |
Hallo,
ich blicke hier leider gar nicht durch.
Den einzigen Ansatz den ich habe, ist, dass innere Produkt (Skalarprodukt) der beiden Vektoren zu berechnen, so dass ich 0 erhalte.
[mm] \vec{x(a)}*\vec{y(a)}=0
[/mm]
Aber wie komme och jetzt auf "a"?
Besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 21.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bilde doch mal das Skalarprodukt und setze es gleich Null, hier also:
[mm] \tan(\alpha)\cdot\frac{1}{1-\tan^{2}(\alpha)}+\frac{1}{1-\tan^{2}(\alpha)}\cdot\tan(\alpha)+0\cdot1+(-1)\cdot1=0
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Okay, dass ist mir bis dahin noch klar. Wie aber nun weiter? Ich werde nach "a" [mm] (\alpha) [/mm] umstellen müssen, oder?
Also alles mit "a" links lassen und alles andere nach rechts? Ggf. auch mit [mm] 1-tan^2(a) [/mm] aus dem Bruch "herausmultiplizieren".
Das würde ich intuitiv machen, allerdings habe ich keinen wirklichen Plan.
Besten Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Do 21.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
Hast Du denn mal die linke Seite der Gleichung oben (siehe Antwort von Marius) zusammengefasst?
Das wird halbwegs übersichtlich.
Anschließend kannst Du substituieren $u \ := \ [mm] \tan(\alpha)$ [/mm] und erhältst eine quadratische Gleichung, welche es nun mit den üblichen Methoden (z.B.  p/q-Formel) zu lösen gilt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Wie fasse ich denn das korrekt zusammen? Die Variablen verwirren mich da etwas.
[mm] tan(\alpha)*\bruch{1}{1-tan^2(\alpha)}+tan(\alpha)*\bruch{1}{1-tan^2(\alpha)}-1=0
[/mm]
[mm] 2tan(\alpha)*\bruch{2}{1-tan^2(\alpha)}-1=0
[/mm]
??
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
(Versehentlich als Mitteilung gepostet)
Hallo,
danke für die Antwort.
Wie fasse ich denn das korrekt zusammen? Die Variablen verwirren mich da etwas.
[mm] tan(\alpha)*\bruch{1}{1-tan^2(\alpha)}+tan(\alpha)*\bruch{1}{1-tan^2(\alpha)}-1=0
[/mm]
[mm] 2tan(\alpha)*\bruch{2}{1-tan^2(\alpha)}-1=0
[/mm]
??
Danke.
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Hallo,
> (Versehentlich als Mitteilung gepostet)
lasse das dann bei nächsten Mal entweder einfach stehen, wir wandeln das dann in eine Frage um. Oder bitte einen anwesenden Moderator darum. Das ist für uns ein Mausklick. 
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> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
>
> Wie fasse ich denn das korrekt zusammen? Die Variablen
> verwirren mich da etwas.
>
> [mm]tan(\alpha)*\bruch{1}{1-tan^2(\alpha)}+tan(\alpha)*\bruch{1}{1-tan^2(\alpha)}-1=0[/mm]
>
> [mm]2tan(\alpha)*\bruch{2}{1-tan^2(\alpha)}-1=0[/mm]
>
Mit der 2 musst du dich schon entscheiden, wo sie hin soll. So wie jetzt ist es falsch, konkret bekommst du hier zunächst
[mm] \bruch{2tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}=1
[/mm]
Und bevor du dir da unnötige Mühen mit irgednwelchen trigonometrsichen Identitäten machst, setze doch einfach den Vorschlag von Loddar um. Dazu bringst du jetzt am besten mal den Nenner auf die andere Seite...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Okay, ich komme dann im Endeffekt auf [mm] tan^2(\alpha)+2tan(\alpha)-1=0
[/mm]
Wenn ich mit "u" substituiere erhalte ich [mm] u^2+2u-1=0
[/mm]
[mm] u_1=0,4142…
[/mm]
[mm] u_2=-2,4142…
[/mm]
Ist das so weit okay? Wie substituiere ich dann gleich noch mal wieder zurück?
Besten Dank
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
>
> Okay, ich komme dann im Endeffekt auf
> [mm]tan^2(\alpha)+2tan(\alpha)-1=0[/mm]
>
> Wenn ich mit "u" substituiere erhalte ich [mm]u^2+2u-1=0[/mm]
>
> [mm]u_1=0,4142…[/mm]
> [mm]u_2=-2,4142…[/mm]
>
> Ist das so weit okay? Wie substituiere ich dann gleich noch
> mal wieder zurück?
>
Es ist doch
[mm]u_{1}=\tan\left(a_{1}\right)[/mm]
[mm]u_{2}=\tan\left(a_{2}\right)[/mm]
Durch Anwendung der inversen Funktion des Tangens [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] bestimmen.
> Besten Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke dir.
Okay, dann erhalte ich für [mm] a_1 \approx [/mm] 22,5 und für [mm] a_2 \approx [/mm] 67,5.
Nur welchen Wert setze ich nun in den Tangens an Stelle von "a" beim o.g. Vektor ein? [mm] a_1 [/mm] oder [mm] a_2? [/mm] Oder sind am Ende beide Lösungen gültig?
Wenn ich 22,5 (oder 67,5) in die Gleichung, die ich aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren erhalte, einsetze, erhalte ich jedoch nicht 0 als Lösung. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke dir.
> Okay, dann erhalte ich für [mm]a_1 \approx[/mm] 22,5 und für [mm]a_2 \approx[/mm]
> 67,5.
[mm]a_{1}[/mm] stimmt, [mm]a_{2}[/mm] nicht.
[mm]a_{1}[/mm] stimmt sogar exakt.
> Nur welchen Wert setze ich nun in den Tangens an Stelle
> von "a" beim o.g. Vektor ein? [mm]a_1[/mm] oder [mm]a_2?[/mm] Oder sind am
> Ende beide Lösungen gültig?
>
> Wenn ich 22,5 (oder 67,5) in die Gleichung, die ich aus dem
> Skalarprodukt der beiden Vektoren erhalte, einsetze,
> erhalte ich jedoch nicht 0 als Lösung.
>
Die Winkel, die Du in Grad angegeben hast,
sind in Radiant umzurechnen.
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 21.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke noch mal.
Aufs Ergebnis "0" komme ich leider immer noch nicht, denn:
[mm] tan(\bruch{1}{8}\pi)*\bruch{1}{1-tan(\bruch{1}{8}\pi)^2}+tan(\bruch{1}{8}\pi)*\bruch{1}{1-tan(\bruch{1}{8}\pi)^2}-1=-0,9863…
[/mm]
Beste Grüße ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke noch mal.
> Aufs Ergebnis "0" komme ich leider immer noch nicht,
> denn:
>
> [mm]tan(\bruch{1}{8}\pi)*\bruch{1}{1-tan(\bruch{1}{8}\pi)^2}+tan(\bruch{1}{8}\pi)*\bruch{1}{1-tan(\bruch{1}{8}\pi)^2}-1=-0,9863…[/mm]
>
Natürlich musst Du auch Dein TR auf den Modus "RAD" umstellen.
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
Danke. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
