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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 28.01.2010 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Wir betrachten die folgende Matrix A [mm] \in M_3(R):
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & \lambda_1 & 0 \\ \lambda_1 & 2 & \lambda_2 \\ 0 & \lambda_2 & 1 }
[/mm]
Zeigen Sie, daß die Definition
[mm] =x^{T}Ay
[/mm]
genau dann ein Skalarprodukt auf [mm] R^3 [/mm] liefert, wenn [mm] \lambda_1^2+\lambda_2^2<2 [/mm] gilt.
(3 Punkte)
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Wenn man den Aussageterm einfach ausformt, erhält man folgendes:
[mm] x_1y_1+
[/mm]
[mm] \lambda_1x_2y_1+\lambda_1x_2y_2+2x_2y_2+\lambda_2x_3y_2+\lambda_2x_2y_3+
[/mm]
[mm] x_3y_3
[/mm]
Dies entspräche schon dem Skalarprodukt <x,y>, wenn man den Term in der 2. Zeile durch die richtigen Werte für [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] zu [mm] x_2y_2 [/mm] umformen könnte.
Durch Gleichungssysteme habe ich 2 Lösungsmöglichkeiten:
1.Fall:
[mm] \lambda_1=\bruch{x_3y_2}{x_1y_3-x_3y_1},\lambda_2=\bruch{-x_1y_2}{x_1y_3-x_3y_1}
[/mm]
2.Fall:
[mm] \lambda_1=\bruch{-x_2y_3}{x_1y_3-x_3y_1}, \lambda_2=\bruch{x_2y_1}{x_1y_3-x_3y_1}
[/mm]
In beiden Fällen wird aber nicht die Bedingung aus der Aufgabe erfüllt. (Die Bedingung aus der Aufgabe besagt, dass die Determinante von A größer 0 sein muss.)
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Hallo tux23,
> Wir betrachten die folgende Matrix A [mm]\in M_3(R):[/mm]
> [mm]A=\pmat{ 1 & \lambda_1 & 0 \\ \lambda_1 & 2 & \lambda_2 \\ 0 & \lambda_2 & 1 }[/mm]
>
> Zeigen Sie, daß die Definition
> [mm]=x^{T}Ay[/mm]
> genau dann ein Skalarprodukt auf [mm]R^3[/mm] liefert, wenn
> [mm]\lambda_1^2+\lambda_2^2<2[/mm] gilt.
>
> (3 Punkte)
>
>
> Wenn man den Aussageterm einfach ausformt, erhält man
> folgendes:
> [mm]x_1y_1+[/mm]
>
> [mm]\lambda_1x_2y_1+\lambda_1x_2y_2+2x_2y_2+\lambda_2x_3y_2+\lambda_2x_2y_3+[/mm]
> [mm]x_3y_3[/mm]
>
> Dies entspräche schon dem Skalarprodukt <x,y>, wenn man
> den Term in der 2. Zeile durch die richtigen Werte für
> [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] zu [mm]x_2y_2[/mm] umformen könnte.
>
> Durch Gleichungssysteme habe ich 2 Lösungsmöglichkeiten:
> 1.Fall:
>
> [mm]\lambda_1=\bruch{x_3y_2}{x_1y_3-x_3y_1},\lambda_2=\bruch{-x_1y_2}{x_1y_3-x_3y_1}[/mm]
>
> 2.Fall:
> [mm]\lambda_1=\bruch{-x_2y_3}{x_1y_3-x_3y_1}, \lambda_2=\bruch{x_2y_1}{x_1y_3-x_3y_1}[/mm]
>
> In beiden Fällen wird aber nicht die Bedingung aus der
> Aufgabe erfüllt. (Die Bedingung aus der Aufgabe besagt,
> dass die Determinante von A größer 0 sein muss.)
Nun, prüfe hier die Eigenschaften,
die ein Skalarprodukt erfüllen muß, nach.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:50 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tux23 |
Danke für den Hinweis,
ich habe die Eiegnschaften für Skalarprodukte (aus Wikipedia) nachgerechnet. Die Symmetrie und positive Definitheit bleiben erhalten. Auch <x,x>=0 für x=o ist klar. Allerdings stimmt die Bilinearität nur im Spezielfall überein:
[mm] =(x+y)^{T}Az=x^{T}Az+y^{T}Az=+ [/mm] wenn y=z.
Allerdings macht
[mm] =x^{T}A(ky)=k(x^{T}Ay)=(kx)^{T}Ay=k= [/mm] für k [mm] \in [/mm] R überhaupt keine Probleme.
Brauche ich für diese Aufgabe nur den letzten Fall? Ich habe keine Eigenschaft finden können, die meine [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] so einschränkt, dass die Bedingung aus der Aufgabe erfüllt wird...
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Hallo,
die kritische Angelegenheit ist hier die positive Definitheit der Matrix A. Alle Determinanten der Hauptuntermatrizen müssen positiv sein und insbesondere [mm] $\det [/mm] A>0$.
Dies ist nur erfüllt, falls man die spezielle Bedingung an die [mm] \lambda [/mm] stellt.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Mo 01.02.2010 | | Autor: | tux23 |
Ok, dass aus der Bedingung aus der Aufgabe unmittelbar auch das Hurwitzkriterium folg kann ich nachvollziehen.
Ich versuche nochmal, aus den errechneten Werten meiner beiden Lambda auf das Hurwitzkriterium zu folgern, dann hätte ichs ja fast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 01.02.2010 | | Autor: | tux23 |
Über das Hurwitzkriterium bekomme ich nur folgendes:
a) 1>0 OK
b) [mm] 2-\lambda_1^{2}>0 \gdw 2-(\bruch{x_3y_2}{x_1y_3-x_3y_1})^2>0 [/mm] (Widerspruch wegen [mm] y_2)
[/mm]
[mm] c)2-\lambda_2^2-\lambda_1^2>0\gdw 2-(\bruch{x_3y_2}{x_1y_3-x_3y_1})^2-(\bruch{-x_1y_2}{x_1y_3-x_3y_1})^2>0 [/mm] (Widerspruch wegen [mm] y_2)
[/mm]
Bei b) und c) kann ich in beiden Fällen durchen ein sehr großes [mm] y_2 [/mm] und entsprechend kleinen Werten für die restlichen Variablen die Bedingung des Kriteriums wieder kaputt machen.
Das die Werte [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] stimmen kann man mit einem CAS durch einfaches Ausrechnen leicht nachprüfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Einschränk nur für y=z macht doch keinen Sinn, wenn du linear beweisen willst? wie muss [mm] \lambda [/mm] sein, damit es allgemein gilt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 01.02.2010 | | Autor: | tux23 |
Vielleicht kann man die ganze Sache so abschließen:
Damit [mm] s(x,y)=x^{T}Ay [/mm] ein Skalarprodukt ergibt, muss
1. s symmetrisch sein,
2. die Werte [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] so gewählt werden, dass sie dass Hurwitzkriterium erfüllen
3. [mm] s(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3
[/mm]
3. wird erfüllt, wenn man die Werte für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] so wählt, wie berits oben schon einige male angegeben.
Insbesondere muss man die Werte so wählen dass die Bedingungen b) und c) (H.Kriterium) erfüllt werden.
Die Bedingung c) ist gleich der aus der Aufgabe.
Die Symmetrie lässt sich nachrechnen.
ok
Rückrichtung:
Gelte die Bedingung aus der Aufgabe. Dann ist auch c) erfüllt und da b) in c) enthlaten ist, ist damit auch b) erfüllt (und a) sowieso). Vergleicht man x1y1 + x2y2 + x3y3 mit [mm] x^{T}Ay [/mm] erhält man die entsprechenden Werte für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2.
[/mm]
OK
Kann man das so stehen lassen?
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Hallo,
also deine Auffassung der Aufgabe scheint mir sehr seltsam zu sein.
Ich mache dir mal bei der Symmetrie vor, wie es eigentlich gehen sollte:
z.z. [mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle =\langle [/mm] y,x [mm] \rangle$
[/mm]
Beweis:
[mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle [/mm] = x^TAy = [mm] (x^TAy)^T=y^TA^Tx^{T^T}=y^TA^Tx=y^TAx= \langle [/mm] y,x [mm] \rangle$
[/mm]
Dabei habe ich ausgenutzt, dass ein Skalar gleich seinem Transponierten ist und [mm] A=A^T [/mm] ist. Das ist aber für jedes [mm] \lambda [/mm] erfüllt. Also keine Bedinung für [mm] \lambda. [/mm]
Genauso musst du die Linearität zeigen.
Und für die pos. Definitheit des Skalaproduktes untersuche [mm] $x^T [/mm] A x > 0$ für alle [mm] $x\setminus\{ 0\}$. [/mm] Da kommt dann dein Kriterium ins Spiel.
Gruß Patrick
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