Skalarprodukt & Indexmenge < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 08.01.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Wir haben in unserer Numerik-VL ein paar Notationen für Skalarprodukte eingeführt, die ich nicht verstehe.
Hier erstmal die Notationen:
1) [mm]\ x*y[/mm] mit [mm] x,y\in\IK^{I}, [/mm] wobei [mm] I\subset\IN_0 [/mm] oder [mm] I\subset\IZ [/mm] ([mm]I[/mm] Indexmenge, [mm] \IK [/mm] ist z.B. [mm] \IR)
[/mm]
2) [mm] A\in\IR^{I,I}, x,y\in\IR^{I}:x*Ay=x^TAy [/mm] und [mm] x*A=(\summe_{}^{}x_ia_{ij})_{j\in I}\in\IR^{1,I}=\IR^{I}
[/mm]
So, erstmal habe ich eine Frage zum Begriff Indexmenge:
Was ist das genau?
Ist einfach nur eine Menge an Zahlen, z.B. {3, 7, -2, 9, -8}?
Und wenn ich jetzt z.B. habe [mm] (x_i)_{i\in I}, [/mm] dann gibt es [mm] x_3, x_7, x_{-2}, x_9, x_{-8}?
[/mm]
Was hab ich davon?
So, nun zu den Skalarprodukten, bzw. zu einem Teil der Notationen.
In der ersten Notation steht, dass ich ein Skalarprodukt von x und y als [mm]\ x*y[/mm] notiere.
Ok, alles klar, hingenommen.
Aber was heißt [mm] x,y\in\IK^{I}?
[/mm]
Ich kenne Vektoren aus [mm] \IK^2, [/mm] aus [mm] \IK^5 [/mm] und auch aus [mm] \IK^n, [/mm] aber was ist denn [mm] \IK^{Menge} [/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kann mir das jemand erklären?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 08.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen.
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> Wir haben in unserer Numerik-VL ein paar Notationen für
> Skalarprodukte eingeführt, die ich nicht verstehe.
>
> Hier erstmal die Notationen:
>
> 1) [mm]\ x*y[/mm] mit [mm]x,y\in\IK^{I},[/mm] wobei [mm]I\subset\IN_0[/mm] oder
> [mm]I\subset\IZ[/mm] ([mm]I[/mm] Indexmenge, [mm]\IK[/mm] ist z.B. [mm]\IR)[/mm]
>
> 2) [mm]A\in\IR^{I,I}, x,y\in\IR^{I}:x*Ay=x^TAy[/mm] und
> [mm]x*A=(\summe_{}^{}x_ia_{ij})_{j\in I}\in\IR^{1,I}=\IR^{I}[/mm]
>
> So, erstmal habe ich eine Frage zum Begriff Indexmenge:
> Was ist das genau?
> Ist einfach nur eine Menge an Zahlen, z.B. {3, 7, -2, 9,
> -8}?
> Und wenn ich jetzt z.B. habe [mm](x_i)_{i\in I},[/mm] dann gibt es
> [mm]x_3, x_7, x_{-2}, x_9, x_{-8}?[/mm]
> Was hab ich davon?
>
> So, nun zu den Skalarprodukten, bzw. zu einem Teil der
> Notationen.
> In der ersten Notation steht, dass ich ein Skalarprodukt
> von x und y als [mm]\ x*y[/mm] notiere.
> Ok, alles klar, hingenommen.
> Aber was heißt [mm]x,y\in\IK^{I}?[/mm]
> Ich kenne Vektoren aus [mm]\IK^2,[/mm] aus [mm]\IK^5[/mm] und auch aus
> [mm]\IK^n,[/mm] aber was ist denn [mm]\IK^{Menge}[/mm]
>
Hallo,
sagt dir der Begriff "überabzählbar" schon etwas? Die Indexmenge könnte überabzählbar sein, damit reicht gegebenenfalls eine Nummerierung auch mit unendlich großen natürlichen Zahlen nicht aus.
Ich schätze, deshalb hat man das Konstrukt "Indexmenge" erfunden.
Gruß Abakus
> Kann mir das jemand erklären?
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 08.01.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Abakus.
> sagt dir der Begriff "überabzählbar" schon etwas?
Heißt das nicht einfach "nicht abzählbar"?
In wie fern hilft mir das nun bei meinem Problem weiter?
Damit weiß ich immer noch nicht, was eine Indexmenge ist.
Und vor allem nicht, was der [mm] \IR^{Indexmenge} [/mm] sein soll ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
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> Hallo Abakus.
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> > sagt dir der Begriff "überabzählbar" schon etwas?
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> Heißt das nicht einfach "nicht abzählbar"?
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> In wie fern hilft mir das nun bei meinem Problem weiter?
> Damit weiß ich immer noch nicht, was eine Indexmenge ist.
> Und vor allem nicht, was der [mm]\IR^{Indexmenge}[/mm] sein soll
>
Dies ist zwar eine steinalte unbeantwortete Frage, aber ich denke, man sollte sie dennoch nicht einfach so stehen lassen.
Ist $I$ eine beliebige Menge, so bezeichnet [mm] $\IR^I$ [/mm] die Menge aller Abbildungen von $I$ nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Eine spezielle derartige Abbildung kann man als eine "Indizierung" einer Familie reeller Zahlen auffassen. Speziell hast Du im Falle [mm] $I=\IN$ [/mm] einfach, dass [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] die Menge aller Folgen reeller Zahlen ist. Eine spezielle derartige Folge (Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] nach [mm] $\IR$) [/mm] ist also eine Folge [mm] $a:\; \IN\rightarrow \IR$ [/mm] bzw., in der üblicheren Schreibweise [mm] $(a_n)_{n\in \IN}$, [/mm] reeller Zahlen. Schreibt man die Glieder einer solchen Folge in der Form [mm] $a_1, a_2, a_3, \ldots$, [/mm] dann nennt man die tiefgestellte natürliche Zahl eben den "Index" des betreffenden Folgengliedes und [mm] $\IN$ [/mm] ist in diesem Falle die Menge aller derartigen Indices, eben die "Indexmenge". Aber man könnte natürlich auch $a(1), a(2), [mm] a(3),\ldots$ [/mm] schreiben.
P.S: Ich bin zuversichtlich, dass Du dies im Grunde weisst und nur vom Kontext etwas verwirrt worden bist.
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