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| Aufgabe | Sei M ein komplexe Matrix, Hermitesch und positiv definit. <x,y>Sei weiter [mm]_{M}[/mm] = [mm]y^HMx[/mm].
a.) Ist [mm]_{M}[/mm] ein Skalarprodukt.
b.) Bestimme für alle A die adjungierte Matrix [mm]A'[/mm] bzgl. </x,y>[mm]_{M}[/mm], d.h. die [mm]A'[/mm] für die gilt: [mm]_{M}[/mm] = [mm]_M[/mm]
c.) Charaktiersiere die Matrizen A, die
- selbstadjungiert bzgl. [mm]_{M}[/mm] sind, für die also [mm]A'[/mm] = A
- unitär bzgl. [mm]_{M}[/mm] sind, für die also [mm]A' = A^{-1}[/mm] |
Hallo an alle,
ich beschäftige mich seit kurzem nochmal mit linearer Algebra. Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme.
a.) ist klar.
b.) hier weiß ich nicht weiter:
Nach Vorraussetzung soll ja gelten: [mm]_{M}[/mm] = [mm]_M[/mm]. Ich habe das einfach mal eingesetzt:
[mm]_{M}[/mm] = [mm]y^H MAx[/mm]
andererseits ist [mm]_{M} = (A'y)^HMx = y^HA'^HMx = y^H(MA')^Hx[/mm]
also MA = [mm](MA')^H[/mm] bzw. MA = [mm]A'^H M[/mm]
heißt das dann, dass die adjungierten Matrizen A' genau diejenigen sind, für die MA = [mm]A'^H M[/mm] ist? Oder muss man das noch weiter ausrechnen? Ich habe z.B. mal A' = [mm]A^H gesetzt. Dann ist A'^HM = (A^H)^H M = AM = (MA)^H.[/mm]. Also kann A' nicht [mm] A^H [/mm] sein. Ist es also doch der Ausdruck von vorher oder muss man hier eine konkretes A' herausbekommen. Ich hoffe das ist verständlich. Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Danke, Steffen
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Hallo Steffen,
$M$ ist invertierbar, also kann man $MA = A'^H M$ nach $A'$ auflösen.
LG mathfunnel
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