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Hallo zusammen
Während meinen Prüfungsvorbereitungen habe ich folgende Aufgabe angetroffen, nun weiss ich aber nicht, wie ich vorgehen soll, um diese zu lösen.
Seien
[mm] e_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 0} e_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} e_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Vektoren in [mm] \IR^3. [/mm]
Zeige, dass diese drei Vektoren eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] bilden und definiere in [mm] \IR^3 [/mm] ein Skalarprodukt, so dass [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] eine orthonormierte Basis bilden.
Drücke dieses Skalarprodukt bezüglich der Standartbasis aus.
Ist es eindeutig?
Also den ersten Teil der Aufgabe, zeige, dass es eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] bildet habe ich gemacht, indem ich die Determinante der "Vektorenmatrix" berechnet habe, und da diese nicht 0 ist, ist die Matrix invertierbar, daraus folgt, dass es eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Aber beim zweiten Teil, weiss ich nicht wie ich vorgehen soll.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Sa 14.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo Babybel73,
> Also den ersten Teil der Aufgabe, zeige, dass es eine Basis
> von [mm]\IR^3[/mm] bildet habe ich gemacht, indem ich die
> Determinante der "Vektorenmatrix" berechnet habe, und da
> diese nicht 0 ist, ist die Matrix invertierbar, daraus
> folgt, dass es eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] ist.
Also wenn ich mich nicht grob verrechnet habe ist:
[mm] $\det\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\end{array}\right)=0$
[/mm]
außerdem gilt: [mm] $e_2=e_1+e_3$
[/mm]
also kann es keine Basis sein.
Gruß,
notinX
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Sorry, der 3. Vektor ist falsch, es ist [mm] e_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ -1} [/mm] und dies ergibt die determinante -2!
Aber mich würde vorallem den 2. Teil der Aufgabe interessieren!??
Liebe Grüsse
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Hallo!
Ein Skalarprodukt ist generell erstmal eine (bi)lineare Funktion mit bestimmten Anforderungen (positif definit, ...).
In Matrixschreibweise sieht das so aus:
[mm] \vec{a}\ast\vec{b}=\vec{a}\mathbf{X}\vec{b}
[/mm]
Dabei ist [mm] \mathbf{X} [/mm] eine Matrix, welche bei dem "Standard-Skalarprodukt" die Einheitsmatrix ist. Sie kann bei "krummen" Koordinatensystemen aber auch komplizierter sein.
Nun soll dein Koordinatensystem bezüglich des gesuchten Skalarprodukts zunächst orthogonal sein. Also [mm] \vec{e}_i\ast\vec{e}_j=0 [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] j$ Das erreichst du auch mit der Einheitsmatrix. Aber orthoNORMAL soll das Skalarprodukt auch noch sein, und das heißt, daß [mm] \vec{e}_i\ast\vec{e}_i=1 [/mm] gelten muß. Wie lang sind denn deine Basisvektoren, und wie mußt du die Einheitsmatrix modifizieren, damit diese Bedingung erfüllt ist?
Tja, und dann mußt du noch überlegen, wie diese Matrix aussieht, wenn man sie in das normale Koordinatensystem überführt.
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??
Also sind meine Basisvektoren nicht [mm] e_1 e_2 [/mm] und [mm] e_3?? [/mm] Und die Einheitsmatrix ist ja 1 wenn i=j und 0 wenn [mm] i\not=j.
[/mm]
Gibt es kein Schema wie man dies lösen kann?? Ist es möglicherweis mit dem Gram-Schmitt möglich?
Liebe Grüsse
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Wenn du dir meinen Beitrag von 17:57 Uhr sorgfältig durchliest, siehst du auch, wie du die Matrix bekommen kannst, von der Event_Horizon spricht. Ich verwende die Bezeichnungen von dort. Zusätzlich fasse ich die Spalten [mm]e_1,e_2,e_3[/mm] zur Matrix [mm]T[/mm] zusammen. Es galt ja
[mm]T \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
Das kann man auflösen und erhält
[mm]\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} = T^{-1} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
Der Übergang zum Transponierten (das ich mit einem Strich bezeichne) ergibt
[mm]\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \cdot \left( T^{-1} \right)'[/mm]
Und ganz analog gilt
[mm]\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} = T^{-1} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
Damit folgt (der Malpunkt ist die Matrizenmultiplikation):
[mm]x \ast y = \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 + \alpha_3 \beta_3 = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \cdot \left( T^{-1} \right)' \cdot T^{-1} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
Die gesuchte Matrix ist also
[mm]S = \left( T^{-1} \right)' \cdot T^{-1} = \left( T' \right)^{-1} \cdot T^{-1} = \left( T \cdot T' \right)^{-1}[/mm]
Damit gilt dann
[mm]x \ast y = x' \cdot S \cdot y[/mm]
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Ich bezeichne wie Event_Horizon das gesuchte Skalarprodukt mit einem Stern. Dann sollen nach Aufgabenstellung die Beziehungen
(*) [mm]e_i \ast e_i = 1 \, , \ \ e_i \ast e_j = 0 \ (i \neq j)[/mm]
gelten. Wegen der Bilinearität kann man distributiv rechnen. Sind also
[mm]x = \sum_i \alpha_i e_i \, , \ \ y = \sum_i \beta_i e_i[/mm]
die Linearkombinationen der Vektoren [mm]x,y[/mm] bezüglich der Basis [mm]e_1,e_2,e_3[/mm], so gilt
[mm]x \ast y = \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j \, e_i \ast e_j = \sum_i \alpha_i \beta_i[/mm]
Beim letzten Gleichheitszeichen wurde (*) verwendet. Und eigentlich könntest du dich jetzt gemütlich zurücklehnen und sagen: Das ist die gesuchte Darstellung. Letztlich ist dies das Standardskalarprodukt in den Koordinaten [mm]\alpha_i, \beta_i[/mm] der Vektoren [mm]x,y[/mm] bezüglich der Basis [mm]e_1,e_2,e_3[/mm].
Aber du sollst ja das Skalarprodukt in den Koordinaten von [mm]x,y[/mm] bezüglich der kanonischen Basis
[mm]f_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ f_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ f_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
ausdrücken. Nennen wir diese Koordinaten wie üblich [mm]x_i[/mm] bzw. [mm]y_i[/mm], so hast du also das lineare Gleichungssystem
[mm]\alpha_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
zu lösen. Das Ergebnis kannst du dann für [mm]y_i[/mm] und [mm]\beta_i[/mm] übernehmen. Und schließlich mußt du nur noch oben einsetzen und hast so [mm]x \ast y[/mm] in Abhängigkeit von den [mm]x_i,y_i[/mm] dargestellt.
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