Skalarprodukt diff.barer Abb. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich versthe zwar die folgende Aufgabe vom Sinn her und weiß auch wie diese geometrisch zu interpretieren ist (Skalarprodukt = 0 heißt die zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander.), habe aber Probleme sie zu Papier zu bringen. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Die Aufgabe lautet:
Sei f: [mm] \IR \to \IR^3 [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit [mm] \parallel [/mm] f(t) [mm] \parallel [/mm] = 1 für alle t [mm] \in \IR. [/mm] Man beweise, dass dann für alle t [mm] \in \IR [/mm] gilt
<f'(t), f(t)> = 0
und geben Sie die geometrische Interpretation dieses Ergenisses.
Vielen Dank :)
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Hallo,
deine geometrische Interpretation ist richtig. Klar: ist <f'(t),f(t)> = 0, so folgt daraus, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Jetzt denken wir physikalisch über das Problem: Gegeben ist ein Vektor f(t) [mm] \in \IR^3 [/mm] mit ||f(t)|| = 1, d.h. f(t) liegt auf der Einheitskugel in [mm] \R^3 [/mm] und stellt den Ortsvektor eines Punktes P [mm] \in \IR^3 [/mm] dar. f'(f) = [mm] \bruch{d}{dt}f(t) [/mm] , also stellt die Bahngeschwindigkeit von P dar, falls P eine Drehbewegung ausführt. Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht zum Ortsvektor, denn der Ortsvektor f(t) beschreibt einen Kreis durch seine Bewegung, die Ableirung f'(t) die Tangente, die senkrecht zum Radius des Kreises sein muss.
Nun, überleg dir, wie die Darstellung von f(t) in Kugelkoordinaten aussieht, bilde die Ableitung und berechne das Skalarprodukt, dann hast du eine mathematische Bestätigng dieser physikalischen Sachverhalte. Solltest Du nicht weiter vorankommen, dann schreib deinen Ansatz hier, damit wir daran arbeiten können.
Gruss,
logarithmus
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