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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Fr 09.03.2007 | | Autor: | KayS99 |
| Aufgabe | Gegeben sei die gerade [mm] \vec{x}=t(1,1,2) [/mm] , t [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Bestimmen Sie die beiden Ebenen, die zu dieser Geraden senkrecht verlaufen und zusammen mit den Koordinatenebenen jeweils ein Tetraeder vom Volumen 18 einschließen. Welchen Abstand haben diese Ebenen voneinander? |
Ich habe zu (1,1,2) einen Vektor gesucht, der senkrecht darauf steht. z.B. (1,1,-1). dann noch einen durch Bildung des Kreuzproduktes. (-3,3,0).
dann weiß ich noch, dass ich die Formel [mm] 1/6|<\vec{a},\vec{b},\vec{c},>|=18 [/mm] benutzen muss.
Es fehlt mir irgendwie die zündende Idee. Bitte helft mir ( wenn es geht ausführlich).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Fr 09.03.2007 | | Autor: | MarinaS |
hallo KayS99!
ist der Stützvektor von deiner Geraden [0,0,0] mit dem Richtungsvektor t[1,1,2] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Fr 09.03.2007 | | Autor: | KayS99 |
ja ich gehe davon aus, die gerade war ist gegeben, als t(1,1,2)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 09.03.2007 | | Autor: | MarinaS |
Also, für das Volumen eines Tetraeders gilt: V=(a³:12) * [mm] \wurzel{12}
[/mm]
geg.: V=18
(a³:12) * [mm] \wurzel{12} [/mm] = 18
-> a = [mm] \wurzel[6]{3888}
[/mm]
Daher weiß man, dass ein Punkt der Ebene E1 [mm] P(0/0/\wurzel[6]{3888})
[/mm]
sein muss (Er liegt auf der z-Achse).
Außerdem weiß man, dass ein Punkt der Ebene E2 [mm] P(0/0/\wurzel[6]{3888})
[/mm]
sein muss (Er liegt ebenfalls auf der z-Achse).
Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalvektor der Ebene E1 und E2.
Weil wir nun jeweils einen Punkt und den Normalvektor der Ebenen E1 und E2 haben, können wir die Ebenengleichung in Normalform angeben:
E1: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \wurzel[6]{3888} } [/mm] ] [mm] \circ \bruch{1}{\wurzel{6}} \vektor{1 \\ 1 \\ 2 } [/mm] = 0
E2: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ - \wurzel[6]{3888} } [/mm] ] [mm] \circ \bruch{1}{\wurzel{6}} \vektor{1 \\ 1 \\ 2 } [/mm] = 0
Den Abstand kann man nun ganz leicht bestimmen, wenn man in einer der Ebenengleichung den von der anderen Gleichung bekannten Punkt einsetzt:
d = [ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ - \wurzel[6]{3888} } [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \wurzel[6]{3888} } [/mm] ] [mm] \circ \bruch{1}{\wurzel{6}} \vektor{1 \\ 1 \\ 2 } [/mm]
nun einfach das Skalarprodukt ausrechnen, dann erhällt man
d [mm] \approx [/mm] 3,24
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Fr 09.03.2007 | | Autor: | MarinaS |
Oh sorry, aber ich habe irgendwie ein Minus zeichen vergessen, bei dem Punkt P der Ebene E2, er liegt natürlich im Negativen Bereich, sonst hätte ich ja keine 2 Ebenen. Also P[0/0/ - [mm] \wurzel[6]{3888}]
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 09.03.2007 | | Autor: | KayS99 |
also, erstmal vielen dank für deine antwort, aber ich glaube, dass es noch eine andere lösung geben muss. ich darf für die lösung der aufgabe nämlich keinen taschnrechner benutzen und das mit der wurzel scheint mir da zu komplex.
ich hatte gedacht eine ebene zu finden durch vektoren, die auf der graden senkrecht stehen. und das mit dem volumem ist ganz bestimmt auf das spatprodukt bezogen. das spatprodukt gibt doch das volumen an. und für ein tetraeder gibt es die formel, die ich am anfang erwähnt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Fr 09.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Kay,
es ist doch so, daß Du die gesuchten Ebenen angeben kannst, wenn Du den Abstand zum Koordinatenursprung kennst, d.h es sind gerade die Ebenen die den gleichen Abstand zum Ursprung haben , wie dein gesuchtes Tetraeder hoch ist.
Einen Normalenvektor zu den Ebenen ist Dir bereits gegeben und weil alle 3 Koordinaten des Normalenvektors [mm] \not=0 [/mm] sind, sind die Schnittpunkte mit den 3 Koordinatenachsen eindeutig und [mm] \not= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] (sonst wäre die Höhe des Tetraeders = 0).
Zunächst mal ist es günstig den Normalenvektor zu normieren.
Wenn es Dir nun gelingt, diese 3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in Äbhängigkeit von der Höhe h darzustellen,kannst du diese Vektoren in die von Dir genannte Volumenformel einsetzen und diese dann nach h auflösen, es müßen sich aber 2 Werte für h ergeben, denn es gibt 2 Ebenen die die in der Aufgabe genannten Bedingung erfüllen .
Viel Erfolg bei der Lösung
wünscht
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Fr 09.03.2007 | | Autor: | heyks |
Schönen guten Abend,
ein paar Fragen zum Tetraeder .
> Also, für das Volumen eines Tetraeders gilt: V=(a³:12) * [mm]\wurzel{12}[/mm]
Woher weißt Du, daß das Tetraeder regulär (also aus 4 gleichseitigen Dreiecken besteht) ist ?
Selbst wenn es so wäre, es gilt dann V = [mm] \bruch{a^3}{12}\cdot\wurzel{2}
[/mm]
> geg.: V=18
> (a³:12) * [mm]\wurzel{12}[/mm] = 18
> -> a = [mm]\wurzel[6]{3888}[/mm]
Wieso denn a = [mm]\wurzel[6]{3888}[/mm], woher kommt die 6. Wurzel ?
>
> Daher weiß man, dass ein Punkt der Ebene E1
> [mm]P(0/0/\wurzel[6]{3888})[/mm]
> sein muss (Er liegt auf der z-Achse).
Wieso denn daß?
Wenn überhaupt, weißt Du erst, daß die Differenz der Eckpunkte des Tetraeders diese Länge haben !
> Außerdem weiß man, dass ein Punkt der Ebene E2
> [mm]P(0/0/\wurzel[6]{3888})[/mm]
> sein muss (Er liegt ebenfalls auf der z-Achse).
Da ist noch einiges unklar, bitte überprüfe Deine Lösung noch einmal.
Viele Grüße von
Heiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Fr 09.03.2007 | | Autor: | riwe |
das ist doch viel zu kompliziert:
für eine ebene
[mm]E:x+y+2z=d[/mm]
hat man die achsenabschnitte, bzw. die entsprechenden punkte
A(d/0/0), B(0/d/0) und [mm]C(0/0/\frac{d}{2})[/mm]
die grundfläche ist das rechwinkelige dreieck OAB, die höhe die z-koordinate von C, daher hast du mit V = 18:
[mm]V=\frac{1}{6}d²\cdot\frac{d}{2}\to d=6[/mm]
also [mm]E_1: x+y+2z=6[/mm]
und die 2. ebene bekommst du mit V = -18.
den gegenseitigen abstand kann man mit der HNF im kopf berechnen.
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