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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Skalarprodukt von Vektoren
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Skalarprodukt von Vektoren: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Mo 05.09.2005
Autor: Pompeius

hi leute!

wir sind in der schule mit dem thema vektorrechnung angefangen und ich komm bei einer aufgabe nicht weiter... und zwar:


gegeben sind zwei vektoren    [mm] \vec{a} [/mm] =  [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm]   und    [mm] \vec{b} [/mm] =  [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ -3}. [/mm]

die aufgabe:  Bestimmen sie zwei reelle zahlen u und v so, dass   [mm] \vec{v} [/mm] =  [mm] \vektor{u \\ 3 \\ v} [/mm]  senkrecht auf   [mm] \vec{a} [/mm]  und   [mm] \vec{b} [/mm]  steht!


also erstmal weiß ich ja das cosinus 0 sein muss...

Das Skalareprodukt von   [mm] \vec{a} [/mm]  und   [mm] \vec{v} [/mm]  ist :  2u+9+v


ich hab versucht:    cos90 =   [mm] \bruch{2u+9+v}{ \wurzel[2]{14*(u^2+9+v^2)} } [/mm]  =  0

aber das geht ja nicht, weil ich da zwei unbekannte drin hab...

oder könnte ich vielleicht v ignorieren, weil der winkel in der ebene und im raum gleich groß ist!?? keine ahnung...

vielen dank schon mal für die hilfe

        
Bezug
Skalarprodukt von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Mo 05.09.2005
Autor: Julius

Hallo!

Der Ansatz ist richtig. [daumenhoch]

Den Nenner allerdings kannst du ja ignorieren, da -unter der Voraussetzung, dass der Nenner nicht $0$ ist- ein Bruch genau dann $0$ ist, wenn der Zähler es ist.

Anders ausgedrückt und klarer:

Zwei Vektoren [mm] $\pmat{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ [/mm] und [mm] $\pmat{b_1 \\ b_2 \\ b_3}$ [/mm] sind orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn für ihr Skalarprodukt gilt:

$0 = [mm] \langle \pmat{a_1 \\ a_2 \\ a_3}, \pmat{b_1 \\ b_2 \\ b_3} \rangle =a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_2 [/mm] + [mm] a_3b_3$. [/mm]

Du musst also $u$ und $v$ so bestimmen, dass

$0 = [mm] \langle \pmat{2 \\ 3 \\ 1}, \pmat{ u \\ 3 \\ v} \rangle [/mm] = 2u+9+v$

und

$0 = [mm] \langle \pmat{-2 \\ 1 \\ -3}, \pmat{ u \\ 3 \\ v} \rangle [/mm] = -2u+3-3v$.

Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ($u$ und $v$), das du sicherlich selber lösen kannst. :-)

Liebe Grüße
Julius
Bezug
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