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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe da ein paar Fragen zu Skalarprodukten.
1) Wir haben Skalarprodukte ganz allgemein als eine positiv definite Bilinearform auf einem reellen Vektorraum definiert. Das einizige Skalarprodukt, dass ich kenne, ist Skalarprodukt [mm] v*w=\summe_{i=1}^{n}v_iw_i [/mm] das man aus der Schule kennt. Könnt ihr mir vielleicht ein Beispiel für andere Skalarprodukte geben?
2) Wir haben ja irgendwann in der Schule mal die Winkelberechnung [mm] cos(\alpha)=\bruch{}{||v||*||w||} [/mm] gelernt.
Gilt diese Winkelberechnung auch für alle anderen Skalarprodukte außer dem von oben?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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Hallo!
> Hallo zusammen!
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> Ich habe da ein paar Fragen zu Skalarprodukten.
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> 1) Wir haben Skalarprodukte ganz allgemein als eine positiv
> definite Bilinearform auf einem reellen Vektorraum
> definiert. Das einizige Skalarprodukt, dass ich kenne, ist
> Skalarprodukt [mm]v*w=\summe_{i=1}^{n}v_iw_i[/mm] das man aus der
> Schule kennt. Könnt ihr mir vielleicht ein Beispiel für
> andere Skalarprodukte geben?
Naja, es müssen 3 Kriterien erfüllt sein:
- Bilinear
- Symmetrisch
- Positiv Definit
Also, mir fällt gerade ein:
[mm] \phi [/mm] = [mm] \integral{f(x)g(x) dx}
[/mm]
mit reellen Funktionen.
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> 2) Wir haben ja irgendwann in der Schule mal die
> Winkelberechnung [mm]cos(\alpha)=\bruch{}{||v||*||w||}[/mm]
> gelernt.
> Gilt diese Winkelberechnung auch für alle anderen
> Skalarprodukte außer dem von oben?
>
Meines Wissens nach ist das nur die Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren. Wenn du den Winkel zwischen unseren Funktionen oben berechnen möchtest, kannst du nicht einfach so multiplizieren..
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 So 17.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Danke für deine Antwort.
> Meines Wissens nach ist das nur die Winkelberechnung
> zwischen 2 Vektoren. Wenn du den Winkel zwischen unseren
> Funktionen oben berechnen möchtest, kannst du nicht
> einfach so multiplizieren..
Gibt es denn noch andere Skalarprodukte, deren Argumente Vektoren sind, deren Abbildungsvorschrift aber nicht das "Schul-Skalarprodukt" ist, und würde die Winkelberechnung dann auch dafür gelten (also wenn <v,w> halt nicht [mm] v^T*w [/mm] ist)?
LG Nadine
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Hallo!
Das Schul-Skalarprodukt gilt für ein Orthonormalsystem, das heißt, die Basisvektoren sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander.
Zeichnungen dazu kannst du auch sehr einfach auf normalem Kästchenpapier anfertigen.
Doch was, wenn der y-Basisvektor in die Länge gezogen ist? Wenn also ein Schritt in y-Richtung länger ist, als ein Schritt in x-Richtung? Es gibt auch Kästchenpapier, bei dem die Kästchen nicht quadratisch sind, das kann dann als Koordinatensystem herhalten.
Das schulische Skalarprodukt kannst du auch schreiben als [mm] \vec{x}\circ\vec{y}=\vec{x}\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\vec{y}\right)
[/mm]
Angenommen, der y-Einheitsvektor ist zwei Längeneinheiten lang, der x-Einheitsvektor eine. Dann sollte, weil das Skalarprodukt ja auch das Quadrat der Länge ist, gelten: [mm] (\vec{e}_x)^2=1 [/mm] und [mm] (\vec{e}_y)^2=4. [/mm] Das ließe sich durch die Definition des Skalarproduktes als [mm] \vec{x}\circ\vec{y}=\vec{x}\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 4 }\vec{y}\right) [/mm] erreichen. Damit kannst du auch wieder Winkel berechnen.
Beispiel:
Der Vektor [mm] \vektor{2\\1} [/mm] sollte einen 45°-Winkel mit dem Vektor [mm] \vektor{1\\0} [/mm] bilden.
[mm] \vektor{2\\1}\circ\vektor{2\\1}=8
[/mm]
[mm] \vektor{1\\0}\circ\vektor{1\\0}=1
[/mm]
[mm] \vektor{1\\0}\circ\vektor{2\\1}=2
[/mm]
zusammen:
[mm] \cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{1}*\sqrt{8}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad\alpha=45°
[/mm]
Funktioniert also.
Jetzt könnte man sich ein Koordinatensystem ausdenken, in dem die Achsen nicht mehr 90° zueinander haben, sondern einen anderen Winkel. Als Konsequenz hätte die Matrix dann auch da, wo noch Nullen stehen, Einträge.
Sowas benutzt man beispielsweise für Berechnungen an Kristallgittern, wo man die Position der Atome als Gitterpunkte annimmt. Diese Koordinatensysteme sind oft schief, und die Einheitsvektoren müssen auch keine gleiche Länge haben.
Noch ein anderes Beispiel:
In der Relativitätstheorie kommt zu den drei Raumdimensionen noch die Zeit dazu. Ein Vektor sieht dann so aus: [mm] \vektor{t\\x\\y\\z}, [/mm] und die Matrix für das Skalarprodukt ist [mm] \pmat{1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}
[/mm]
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