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| Aufgabe | Betrachtet wird der [mm] \IR-Vektorraum \IR^{2}. [/mm] Für [mm] (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) \in \IR^{2} [/mm] werde definiert:
[mm] <(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (\IR<*,*>) [/mm] ein Euklidischer Verktorraum ist. |
Es bleibt nur zu zeigen, dass [mm] <(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2} [/mm] ein Skalarprodukt ist.
(i) Sei [mm] v_{1}=(x_{1},x_{2}) [/mm] und [mm] v_{2}=(y_{1},y_{2}) [/mm] und [mm] w=(w_{1},w_{2})
[/mm]
[mm] <\lambda_{1} v_{1}+\lambda_{2} v_{2},w>=<\lambda_{1} (x_{1},x_{2}) +\lambda_{2} (y_{1},y_{2},(w_{1},w_{2}))>
[/mm]
[mm] =<(\lambda_{1} x_{1},\lambda_{1} x_{2}) +(\lambda_{2} y_{1},\lambda_{2} y_{2}),(w_{1},w_{2})>
[/mm]
[mm] =(\lambda_{1}x_{1}w_{1}-\lambda_{1}x_{1}w_{2}-\lambda_{1}x_{2}w_{1}+\lambda_{1}4x_{2}w _{2})+(\lambda_{2}y_{1}w_{1}-\lambda_{2}y_{1}w_{2}-\lambda_{2}y_{2}w_{1}+\lambda_{2}4y_{2}w_{2})
[/mm]
[mm] =\lambda_{1}(x_{1}w_{1}-x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1}+4x_{2}w_{2})+\lambda_{2}(y_{1}w_{1}-y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1}+4y_{2}w_{2})
[/mm]
[mm] =\lambda_{2}<(x_{1},x_{2}),(w_{1},w_{2})>+\lambda_{2}<(y_{1},y_{2}),(w_{1},w_{2})>
[/mm]
[mm] =\lambda_{1}+\lambda_{2}
[/mm]
(ii) Seien [mm] v_{1}=(x_{1},x_{2}) [/mm] und [mm] v_{2}=(y_{1},y_{2}) [/mm] aus [mm] \IR^{2}. [/mm] Dann gilt:
[mm] =x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}=y_{1}x_{1}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}+4y_{2}x_{2}=
[/mm]
(iii) Sei [mm] v_{1}=(x_{1},x_{2}) [/mm] aus [mm] \IR^{2}. [/mm] Dann gilt:
[mm] =x_{1}x_{1}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+4x_{2}x_{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}*x_{2}+4*|x|^{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}*x_{2}+|x|^{2}+3*|x|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+3*|x|^{2}\ge0
[/mm]
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mo 16.05.2016 | | Autor: | huddel |
> Betrachtet wird der [mm]\IR-Vektorraum \IR^{2}.[/mm] Für
> [mm](x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) \in \IR^{2}[/mm] werde definiert:
> [mm]<(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm](\IR<*,*>)[/mm] ein Euklidischer Verktorraum
> ist.
>
>
> Es bleibt nur zu zeigen, dass
> [mm]<(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}[/mm]
> ein Skalarprodukt ist.
>
> (i) Sei [mm]v_{1}=(x_{1},x_{2})[/mm] und [mm]v_{2}=(y_{1},y_{2})[/mm] und
> [mm]w=(w_{1},w_{2})[/mm]
>
> [mm]<\lambda_{1} v_{1}+\lambda_{2} v_{2},w>=<\lambda_{1} (x_{1},x_{2}) +\lambda_{2} (y_{1},y_{2},(w_{1},w_{2}))>[/mm]
>
> [mm]=<(\lambda_{1} x_{1},\lambda_{1} x_{2}) +(\lambda_{2} y_{1},\lambda_{2} y_{2}),(w_{1},w_{2})>[/mm]
>
> [mm]=(\lambda_{1}x_{1}w_{1}-\lambda_{1}x_{1}w_{2}-\lambda_{1}x_{2}w_{1}+\lambda_{1}4x_{2}w _{2})+(\lambda_{2}y_{1}w_{1}-\lambda_{2}y_{1}w_{2}-\lambda_{2}y_{2}w_{1}+\lambda_{2}4y_{2}w_{2})[/mm]
>
> [mm]=\lambda_{1}(x_{1}w_{1}-x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1}+4x_{2}w_{2})+\lambda_{2}(y_{1}w_{1}-y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1}+4y_{2}w_{2})[/mm]
>
> [mm]=\lambda_{2}<(x_{1},x_{2}),(w_{1},w_{2})>+\lambda_{2}<(y_{1},y_{2}),(w_{1},w_{2})>[/mm]
> [mm]=\lambda_{1}+\lambda_{2}[/mm]
Hier hast du einen Schritt übersprungen, der vllt noch ganz nett gewesen wäre, aber ist richtig
> (ii) Seien [mm]v_{1}=(x_{1},x_{2})[/mm] und [mm]v_{2}=(y_{1},y_{2})[/mm] aus
> [mm]\IR^{2}.[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}=y_{1}x_{1}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}+4y_{2}x_{2}=[/mm]
>
> (iii) Sei [mm]v_{1}=(x_{1},x_{2})[/mm] aus [mm]\IR^{2}.[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]=x_{1}x_{1}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+4x_{2}x_{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}*x_{2}+4*|x|^{2}\ge0[/mm]
Warum? klar sieht mans, aber ein bisschen genauer wäre schon gut.
> Ist das so richtig?
Du musst noch zeigen, dass [mm] $ [/mm] = 0$ genau dann wenn [mm] $v_{1} [/mm] = 0$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 16.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zwei oder drei genauer?
eins und drei
fred
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Ich sehe irgendwie nicht, was ich bei eins genauer schreiben soll. Kannst du mir ein Tipp geben?
Für (iii) habe ich folgende Ergänzung:
[mm] =<(x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})>=x_{1}*x_{1}-x_{1}*x_{2}-x_{2}*x_{1}+4x_{2}*x_{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}x_{2}+4|x_{2}|^{2}=0 \gdw x_{1}=0 \wedge x_{2}=0 \gdw v_{1}=(0,0)
[/mm]
Das ist ja auch das was ich zeigen sollte oder mach ich da was falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:49 Di 17.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich sehe irgendwie nicht, was ich bei eins genauer
> schreiben soll. Kannst du mir ein Tipp geben?
Das hat huddel Dir doch gesagt !
>
> Für (iii) habe ich folgende Ergänzung:
>
> [mm]=<(x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})>=x_{1}*x_{1}-x_{1}*x_{2}-x_{2}*x_{1}+4x_{2}*x_{2}=||x_{1}||^{2}-2x_{1}x_{2}+4||x_{2}||^{2}=0 \gdw x_{1}=0 \wedge x_{2}=0[/mm]
>
> Das ist ja auch das was ich zeigen sollte oder mach ich da
> was falsch?
Was sollen die Normstriche ???
Es ist [mm] =x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+3x_2^2=(x_1-x_2)^2+3x_2^2
[/mm]
Nun sieht man sofort: [mm] \ge [/mm] 0
und
[mm] =0 \gdw x_1=x_2 [/mm] und [mm] x_2=0 \gdw x_1=x_2=0 \gdw v_1=(0,0).
[/mm]
FRED
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Das sollten eigentlich Betragsstriche werden. Da muss mir wohl ein Fahler unterlaufen sein.
LG DerPinguinagent
PS: Habe ich auch übers Binom gemacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Di 17.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Das sollten eigentlich Betragsstriche werden. Da muss mir
> wohl ein Fahler unterlaufen sein.
>
> LG DerPinguinagent
>
> PS: Habe ich auch übers Binom gemacht!
Wo ?
FRED
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