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Hi !
In einer Aufgabenstellung spielen Egon und Otto Skat. Otto sagt Egon, dass er ein Ass auf der Hand hat. Nun ist die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Otto mindestens noch ein Ass hat.
Im Lösungsteil wird behauptet, die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspräche der Wahrscheinlichkeit, dass Otto mindestens 2 Asse hat. Ich verstehe das aber nicht, und finde, dass dabei nicht berücksichtigt wird, dass Otto schon ein Ass hat.
Mein Lösungsansatz:
Wahrscheinlichkeit, dass er noch genau EINS mehr hat:
Ein Ass hat er, dass ist klar. Dann ist für die nächste Karte auf seinem Blatt die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{3}{31}, [/mm] dass sie auch ein Ass ist. Die restlichen 8 Karten sollen in diesem Fall kein Ass sein. Dass ganze dann mal [mm] \vektor{9 \\ 1} [/mm] mal genommen, weil dass zweite Ass unter insgesamt 9 Karten (Um das ertse Ass geht es ja nicht mehr) verteilt sein kann (man weiß quasi nicht, wann es "gezogen" wird)
[mm] \bruch{3}{31}*\bruch{\bruch{28!}{20!}}{\bruch{30!}{22!}}*\vektor{9 \\ 1}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass er noch genau ZWEI mehr hat:
[mm] \bruch{3}{31}*\bruch{2}{30}*\bruch{\bruch{28!}{21!}}{\bruch{29!}{22!}}*\vektor{9 \\ 2}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass er noch genau DREI mehr hat:
[mm] \bruch{3}{31}*\bruch{2}{30}*\bruch{1}{29}\bruch{\bruch{28!}{22!}}{\bruch{28!}{22!}}*\vektor{9 \\ 3}
[/mm]
Kommt insgesamt [mm] \approx65.7\% [/mm] raus.
Ich hab das ganze auch nochmal mit dem Binomialkoeffizienten gerechnet. Kam das selbe raus. Dem Buch zufolge kommt [mm] \approx36.8\% [/mm] raus..
Kann mir jemand helfen, wo der Fehler liegt ??
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> Hi !
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> In einer Aufgabenstellung spielen Egon und Otto Skat. Otto
> sagt Egon, dass er ein Ass auf der Hand hat. Nun ist die
> Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Otto
> mindestens noch ein Ass hat.
>
> Im Lösungsteil wird behauptet, die gesuchte
> Wahrscheinlichkeit entspräche der Wahrscheinlichkeit, dass
> Otto mindestens 2 Asse hat. Ich verstehe das aber nicht,
> und finde, dass dabei nicht berücksichtigt wird, dass Otto
> schon ein Ass hat.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Wahrscheinlichkeit, dass er noch genau EINS mehr hat:
>
> Ein Ass hat er, dass ist klar. Dann ist für die nächste
> Karte auf seinem Blatt die Wahrscheinlichkeit
> [mm]\bruch{3}{31},[/mm] dass sie auch ein Ass ist. Die restlichen 8
> Karten sollen in diesem Fall kein Ass sein. Dass ganze dann
> mal [mm]\vektor{9 \\ 1}[/mm] mal genommen, weil dass zweite Ass
> unter insgesamt 9 Karten (Um das ertse Ass geht es ja nicht
> mehr) verteilt sein kann (man weiß quasi nicht, wann es
> "gezogen" wird)
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> [mm]\bruch{3}{31}*\bruch{\bruch{28!}{20!}}{\bruch{30!}{22!}}*\vektor{9 \\ 1}[/mm]
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> Wahrscheinlichkeit, dass er noch genau ZWEI mehr hat:
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> [mm]\bruch{3}{31}*\bruch{2}{30}*\bruch{\bruch{28!}{21!}}{\bruch{29!}{22!}}*\vektor{9 \\ 2}[/mm]
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> Wahrscheinlichkeit, dass er noch genau DREI mehr hat:
>
> [mm]\bruch{3}{31}*\bruch{2}{30}*\bruch{1}{29}\bruch{\bruch{28!}{22!}}{\bruch{28!}{22!}}*\vektor{9 \\ 3}[/mm]
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> Kommt insgesamt [mm]\approx65.7\%[/mm] raus.
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> Ich hab das ganze auch nochmal mit dem
> Binomialkoeffizienten gerechnet. Kam das selbe raus. Dem
> Buch zufolge kommt [mm]\approx36.8\%[/mm] raus..
>
> Kann mir jemand helfen, wo der Fehler liegt ??
Ganz grundsätzlich verstehe ich nicht, wieviele Karten das Spiel genau hat und wieviele Personen mitspielen (ich verstehe nichts von Skat und glaube auch nicht, dass solches Wissen zur Allgemeinbildung gehört - möglicherweise wird Skat auch mit unterschiedlichen Karten- und Spielerzahlen gespielt). Vielleicht kannst Du genauer schreiben, wie die Anzahl Karten (32?, 36?) und die Anzahl Spieler (2?, 4?) bei dieser konkreten Aufgabe anzusetzen ist?
Ich lese den Aufgabentext so, dass die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, dass Otto mindestens 2 Asse hat unter der Bedingung, dass er mindestens 1 As hat. Mit dem Formalismus der "bedingten Wahrscheinlichkeit" formuliert, ist dies einfach folgendes:
[mm]\mathrm{P}(\text{mindestens 2 Asse}|\text{mindestens 1 As})=\frac{\mathrm{P}(\text{'mindestens 2 Asse'}\cap \text{'mindestens 1 As'})}{\mathrm{P}(\text{mindestens 1 As})}=\frac{\mathrm{P}(\text{mindestens 2 Asse})}{\mathrm{P}(\text{mindestens 1 As})}[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Das zweite Gleichheitszeichen gilt, weil das Ereignis 'mindestens 2 Asse' eine Teilmenge des Ereignisses 'mindestens 1 As' ist.
Die Behauptung des Buches, dass die gesuchte (bedingte) Wahrscheinlichkeit gleich der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit sei, dass Otto mindestens 2 Asse habe, kann also, wenn die obige Überlegung via "bedingte Wahrscheinlichkeit" richtig ist, nicht stimmen, denn [mm] $\mathrm{P}(\text{mindestens 1 As})$ [/mm] ist sicher $<1$. Die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 2 Asse hat, sofern man bereits weiss, dass er mindestens 1 Ass hat, muss also grösser sein, als die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 2 Asse hat (wie Du ganz richtig einwendest).
Zur konkreten Berechnung von [mm] $\mathrm{P}(\text{mindestens 2 Asse})$ [/mm] und [mm] $\mathrm{P}(\text{mindestens 1 As})$ [/mm] muss man nun allerdings wissen, wieviele Karten ein Spieler (hier "Otto") erhält und aus wievielen Karten diese ausgewählt werden. Nebenbei bemerkt, ist die Aufgabenstellung etwas fragwürdig, weil ja der andere Spieler, Egon, seine eigenen Karten ebenfalls kennt, weshalb er erheblich stärkere Schlüsse ziehen kann, als wir, die wir die Karten, die Egon erhalten hat, nicht kennen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Di 18.09.2007 | | Autor: | dande |
Skat: drei Spieler, jeder erhält 10 Karten. das ist ziemlich fest geregelt.
der Unterschied ist, daß das Buch die Wahrscheinlichkeit für "mindestens zwei Asse" mit "mindestens zwei Asse, wenn mindestens ein As" gleichsetzt, und erstere Wahrscheinlichkeit als Lösung angibt.
ich habe gerade drei Ansätze ausprobiert, einer führte auf knappe 47%. ich schau's mir später nochmal in Ruhe an...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 18.09.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
(Im Skat spielen 3 Spieler. Drei bekommen jeweils 10 Karten, die restlichen 2 Landen im sog. "Skat". Hie rgeht es um Egons 10 Karten)
Ich kann auch noch mal die selbe Lösug via Binomialkoeffizient darstellen, mit Gegenwahrscheinlichkeit:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Egon kein weiteres Ass mehr hat ?
[mm] \bruch{\vektor{28 \\ 9}*\vektor{3 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 9}}
[/mm]
Es geht ja noch darum 9 weitere Karten "auszuteilen" (ein Ass hat ja Egon schon). daher der Nenner. insgesamt gibt es im Spiel 4 Asse, daher also im Zähler 28 Nicht-asse von denen 9 noch "verteilt" werden.
Obiges ist nur die Gegenwahrscheinluchkeit. Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wieder [mm] \approx65.7%
[/mm]
Also wieder was anderes als das Buch vorgibt.
Mach ich was falsch ??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 19.09.2007 | | Autor: | dande |
Du gehst nach wie vor von einer bedingten Wahrscheinlichkeit aus. Das Buch (aus welchen Gründen auch immer) nicht. deshalb steht im Buch die Wahrscheinlichkeit für 2 oder mehr Asse auf 10 Karten aus einem Skatsatz statt der Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Anzahl Asse auf 9 Karten aus einem Skatsatz mit einem fehlenden As.
Das Buch geht davon aus, daß die Formel p(mehrere Asse)=1- [mm] \underbrace{\bruch{\vektor{28 \\ 9} \vektor{4 \\ 1}}{\vektor{32 \\ 10}}}_{1 As} [/mm] - [mm] \underbrace{\bruch{\vektor{28 \\ 10} \vektor{4 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 10}}}_{0 Asse} [/mm] hier die korrekte Wahrscheinlichkeit liefert. und das sind tatsächlich 36,8.
bei der Berechnung von p(weitere Asse) komme ich dann auf folgende Überlegung:
p(mehrere Asse | mindestens ein As) = (p(2)+p(3)+p(4))/(p(1)+p(2)+p(3)+p(4))=(1-p(0)-p(1))/(1-p(0)) = 0,368/0,796 = 0,462...
und nun frage ich mich, wo mein Denkfehler dabei ist...?
Der Ansatz aus dem Lehrbuch, daß die Information "mindestens ein As" unerheblich sein soll, ist nur für unabhängige Größen gegeben. Die Anzahl der Asse hängt aber normalerweise sehr eng mit der Anzahl der Asse zusammen (toller Satz ne), also kann das Ganze eigentlich gar nicht gleich sein, wie ja auch schon gesagt wurde.
als fehlerhaft gekennzeichnet, weil es das Problem nicht löst, aber bestreitet, daß das Problem besteht - und ein neues hat ;)
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