Skizze Gauß. Normalverteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a)
Skizzieren Sie, indem Sie die Dichtefunktion für ca. 10 Werte berechnen, die Gaußsche Normalverteilungskurve für die Parametervorgaben [mm] (\mu,\sigma)=(0,1) [/mm] ; (1,1); (0,2) und (1,2).
b)
Berechnen Sie für die Koordinaten [mm] z_1=0 [/mm] ; [mm] z_2=1,1774 [/mm] und [mm] z_3=2 [/mm] die drei Werte [mm] f_S_N(z_i).
[/mm]
c)
Berechnen Sie für die Parameter [mm] \mu=1 [/mm] und [mm] \sigma=2 [/mm] sowie die Koordinaten [mm] x_1=1 [/mm] ; [mm] x_2=3,3548 [/mm] und [mm] x_3=5 [/mm] die drei Werte [mm] f_N(x_i [/mm] ; [mm] \mu [/mm] ; [mm] \sigma). [/mm] |
Hey Ihr Lieben ;)
Ich habe mir im Buch und auf WIKI die Gausche Normalverteilung angeschaut und mir ist auch klar, warum der Wertebereich auf der Abzisse zwischen -3.5 und +3.5 zu liegen hat.
Wie komme ich allerdings an die Werte für die Ordinate? Die meisten Graphen für [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma=1 [/mm] sehen so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie würde ich also im konkreten Fall bei Teilaufgabe "a" vorgehen?
Bei Teilaufgabe b) und c) habe ich zwar die Lösungen, weiß aber absolut nicht, wie man darauf kommt. Dachte erst, ich könnte die Ergebnisse ganz einfach aus den divers bekannten Tabellen zur Standardnormalverteilung ablesen, allerdings stimmen die Ergebnisse nicht. Ich glaube ich habe überhaupt noch nicht verstanden, was sich eigentlich genau hinter der Aufgabe verbirgt (mathematisches Problem).
Die Lösungen sind wie folgt:
zu b)
[mm] f_S_N(z_1)=0.3989 [/mm] ; [mm] f_S_N(z_2)=0,1995 [/mm] ; [mm] f_S_N(z_3)=0,0540
[/mm]
zu c)
[mm] f_N(x_1;1;2)=0,1995 [/mm] ; [mm] f_N(x_2;1;2)=0,0997 [/mm] ; [mm] f_N(x_3;1;2)=0,0270
[/mm]
Über Anregungen und Lösungsansätze bedank ich mich recht herzlich ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Do 30.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung ist definiert als
[mm] f(x)=\br{1}{\sigma\wurzel{2\pi}}e^{-\br{1}{2}\left(\br{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
[/mm]
Du musst also nur die entsprechenden [mm] x,\mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] Werte einsetzen dann bekommst Du das Ergebnis.
Mit [mm] f_{SN} [/mm] ist wohl die Standard Normalverteilung gemeint, also [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma=1.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hey Ullim ;)
Das Skizzieren mit Hilfe der Dichtefunktion ist nun nachvollziehbar und hat geklappt.
Das mit [mm] f_S_N(z_i) [/mm] die Standardnormalverteilung gemeint ist, war mir klar - nur verstehe ich nicht, was bei der Aufgabe zu tun ist.
Mal zum Verständnis:
Man benötigt doch die Standardnormalverteilung, um mit jedem beliebigem [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] der Normalverteilung durch die z - Transformation zur Standardnormalverteilung diese Werte [mm] (\mu [/mm] und [mm] \sigma) [/mm] berechnen zu können, oder?
Da es sich laut Formelsamlung um ein recht komplexes Integral handelt, bedient man sich Tabellenwerten. Ich hatte zuvor Anwendungsaufgaben gerechnet und in diesen Aufgaben z bestimmt, mit: [mm]Z=\bruch {X-\mu}{\sigma}[/mm]
Das Ergebnis was hier rauskam, schaute ich in der Tabelle nach und es kam z.b. raus: [mm] F_S_N(z)=F_S_N(1.6)=0,9452
[/mm]
Dieser Wert entsprach dann meiner gesuchten Wahrscheinlichkeit. Also dachte ich, man suche diese z-Werte einfach in der Tabelle. Ich glaube ich habe nicht wirlich verstanden, was genau dieser z-Wert darstellt.
Bräuchte also nochmal einen Denkanstoß, was genau bei Teilaufgabe b) berechnet wird ;)
Aus diesem Grund komme ich auch nicht bei Teilaufgabe c) Weiter ;(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 30.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Bräuchte also nochmal einen Denkanstoß, was genau bei
> Teilaufgabe b) berechnet wird ;)
>
Mit [mm] $\mu=0$ [/mm] und [mm] $\sigma=1$ [/mm] ist
$ [mm] f_{SN}(x)=\br{1}{\sigma\wurzel{2\pi}}e^{-\br{1}{2}\left(\br{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=\br{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\br{1}{2}x^2} [/mm] $.
Mithin ist beispielsweise
[mm] $f_{SN}(z_1)=f_{SN}(0)=\br{1}{\wurzel{2\pi}}=0.3989$, [/mm] was deinen Vorgaben entspricht.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Hey Luis ;)
Dank Dir recht herzlich. Hatte die Formel im Script glatt übersehen. Nun ergibt es rein rechnerisch alles einen Sinn, das Nachrechnen liefert die richtigen Ergebnisse.
Könntest du mir vielleicht die mathematische Berechnung ohne Formeln, sondern vielmehr verbal erklären? Ich kann es im Moment zwar stupf reproduzieren, behaupten ich würde verstehen was ich da mache, kann ich nicht ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 30.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also zu der Aufgabe ist eigentlich nicht mehr zu sagen, als das Du für bestimmte x-Werte die entsprechenden Werte der Dichte ausrechnen sollst. Das hast Du ja gemacht. Außerdem ist die Dichte kein Integral sondern wirklich nur eine normale Funktion.
Die Transformation [mm] z=\br{X-\mu}{\sigma} [/mm] braucht man um normalverteilte Zufallsgrößen auf standardnormalverteilt umzurechnen. Wenn die Zufallsgröße X den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und die Strauung [mm] \sigma [/mm] besitzt, besitzt die Zufallsgröße Z den Erwartungswert 0 und die Streuung 1.
Die Wahrscheinlichkeit des eintretens eines normalverteilten Ereugnisses im Bereich [mm] x_0 [/mm] bis [mm] x_1 [/mm] berechnet sich zu
[mm] \integral_{x_0}^{x_1}{f(x) dx} [/mm] mit [mm] f(x)=\br{1}{\sigma\wurzel{2\pi}}e^{-\br{1}{2}\left(\br{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
[/mm]
Die Funktion [mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(x) dx} [/mm] nennt man die Verteilungsfunktion und entspricht der Wahrscheinlichkeit das ein Ereignis im Bereich [mm] [-\infty,x] [/mm] auftritt.
|
|
|
| |
|
Hey Ullim ;)
Nochmals vielen Dank für die Erklärung, bin mir sicher, dass ich nun verstanden habe, worum es geht.
|
|
|
|
