Sn (Gruppe der Permutationen) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Anzahl der Elemente von Sn beträgt n!
Dies soll ich zeigen.
Anschaulich ist das ja schon klar.
S3={(123);(132);(213);(231);(312);(321)} 6 Elemente 3!=6
Aus der Kombinatorik wusste ich ja schon, wenn ich n Elemente auf n Plätzen anordnen soll und jedes Element nur einmal vorkommt, dann gibt es n! Möglichkeiten.
Doch wie wird dies bewiesen?
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Hallo!
> Die Anzahl der Elemente von Sn beträgt n!
Das ist korrekt!
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> Anschaulich ist das ja schon klar.
Anscheinend nicht, denn Deine aufgeführte Gruppe ist nicht [mm] S_3!!!
[/mm]
> S3={(123);(132);(213);(231);(312);(321)} 6 Elemente 3!=6
Zum Beispiel ist doch (132)=(213) und (123)=(312).
Ich helfe Dir mal:
In jeder symmetrischen Gruppe ist schon einmal die Identität!
[mm] S_3 [/mm] = {id=1, a=(12), b=(13), c=(2,3), ab=(12)(13)=(321)=(132)=bc,
ac=(12)(23)=(123)}
Somit haben wir 6 Elemente!
Jetzt stelle Dir mal eine Menge [mm] M={a_1,...a_n} [/mm] vor mit f aus [mm] S_M.
[/mm]
Bedingung an [mm] f(a_1): f(a_1) [/mm] aus M, also n Möglichkeiten.
Bedingung an [mm] f(a_2): f(a_2) [/mm] aus [mm] M-{f(a_1)}, [/mm] also n-1 Mögleichkeiten.
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Alles klar?
Gruss, Wurzelpi
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