www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Sn isomorph zu Restklassenring
Sn isomorph zu Restklassenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Sn isomorph zu Restklassenring: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Sa 21.07.2012
Autor: Pauli85

Aufgabe
Finde jeweils eine Untergruppe der [mm] S_{4}, [/mm] welche isomorph zu folgender Gruppe ist:
[mm] \IZ/2\IZ, \IZ/3\IZ, \IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ, [/mm] {e}, [mm] S_{3}, D_{4}, A_{4}, S_{4} [/mm]

Hallo,
ich verstehe nicht, wie eine Symmetriegruppe zu einem Restklassenring isomorph seien kann. Ich kann mir darunter einfach nichts vorstellen.
Kann mir vielleicht jemand ein Beispiel angeben, indem mir das klarer wird?

Vielen Dank & Grüße

        
Bezug
Sn isomorph zu Restklassenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Sa 21.07.2012
Autor: teo

Hallo,

vlt. wärs gar nicht so schlecht, dir mal sämtliche Elemente der S4 aufzuschreiben, dann fällt dir die Aufgabe vlt. leichter.

Zum Beispiel [mm] \IZ2\IZ: [/mm] diese Gruppe hat genau zwei Elemente {e,a} wobei [mm] a^2 [/mm] = e gilt. Welche Elemente in [mm] S_n [/mm] haben denn Ordnung 2? Diese erzeugen dann eine Gruppe der Ordnung 2. Da es nur eine Gruppe der Ordnung 2 gibt. Sind alle Gruppen der Ordnung 2 isomorph zu eben dieser.


Grüße

Bezug
                
Bezug
Sn isomorph zu Restklassenring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Sa 21.07.2012
Autor: Pauli85


> Zum Beispiel [mm]\IZ2\IZ:[/mm] diese Gruppe hat genau zwei Elemente
> {e,a} wobei [mm]a^2[/mm] = e gilt.

Das verstehe ich auch nicht so ganz. Der Restklassenring [mm] \IZ/2\IZ [/mm] hat doch die Elemente [0] und [1] mit [a]:={a+2*k|k [mm] \in \IZ\} [/mm] und a [mm] \in [/mm] {0,1}. Und [mm] [1]^{2} [/mm] = [1], oder nicht?
Oder verstehe ich das ganze komplett falsch?


Bezug
                        
Bezug
Sn isomorph zu Restklassenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Sa 21.07.2012
Autor: steppenhahn

Hallo,


> > Zum Beispiel [mm]\IZ2\IZ:[/mm] diese Gruppe hat genau zwei Elemente
> > {e,a} wobei [mm]a^2[/mm] = e gilt.

>

> Das verstehe ich auch nicht so ganz. Der Restklassenring
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] hat doch die Elemente [0] und [1] mit
> [a]:={a+2*k|k [mm] \in \IZ} [/mm] und a [mm]\in[/mm] {0,1}. Und [mm][1]^{2}[/mm] = [1],
> oder nicht?
>  Oder verstehe ich das ganze komplett falsch?

Nein, du liegst richtig.
teo meinte auch etwas anderes, glaube ich.

[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 2\IZ$ [/mm] soll ja hier als Gruppe bzgl. der Addition aufgefasst werden, und dann gilt das Gewünschte mit den Identifikationen

$0 [mm] \in \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ$ [/mm] <--> $id [mm] \in S_4$ [/mm]
$1 [mm] \in \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ$ [/mm] <--> $(1,2) [mm] \in S_4$ [/mm]

(insbes. entspricht 1 + 1 = 0 der Komposition $(1,2) [mm] \circ [/mm] (1,2) = id$).

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Sn isomorph zu Restklassenring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 25.07.2012
Autor: Pauli85

Danke für die Hilfe.
Ich bin jetzt so weit:
[mm] \IZ/2\IZ \cong S_{2}={e,(12)} [/mm]
[mm] \IZ/3\IZ \cong [/mm] <(123)>={e,(123),(132)}
[mm] \IZ/4\IZ \cong [/mm] <(1234>={e,(1234),(13)(24),(1432)}
[mm] D_{4} \cong [/mm] <(12)(34),(1234)>
[mm] S_{3} \cong [/mm] <(13),(123)>

{e} [mm] \cong [/mm] {e} und
[mm] S_{4} \cong S_{4} [/mm] ist trivial nehme ich an

Aber was ist [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ? [/mm] Ich weiß auch nicht so ganz was es als Gruppe bedeuten soll. Evtl. die "Verknüpfung" der Elemente mod 2? Also 0 * 0 mod 2, 0 * 1 mod 2, 1 * 0 mod 2 und 1 * 1 mod 2?

Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Sn isomorph zu Restklassenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mi 25.07.2012
Autor: teo

Hallo,

[mm] \IZ2 [/mm] x [mm] \IZ2 [/mm] ist isomorph zur [mm] V_4. [/mm] Diese Gruppe ist dir bekannt oder?

Grüße

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]