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Meine Frage ist eigentlich einfach. Warum braucht man zur DEfinition der Sobolev-Räume p-mal integrierbare Funktionen? Hängt das irgendwie damit zusammen, dass sonst die Funktionen $ f [mm] \* D^{\alpha} [/mm] g$, die ja unter dem Integral der schwachen Ableitung stehen nicht integrierbar sind oder reicht da schon $f [mm] \in L^2$ [/mm] und $g$ unendlich oft differenzierbar mit kompaktem Träger?
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Hallo,
naja, die verschiedenen p-Werte repräsentieren ja auch die Regularität der
Funktionen in [mm] $H^{m,p}$. [/mm] Generell kann man sagen, dass mit wachsendem p auch die Regularität der entsprechenden Sobolev-Funktionen grösser wird.
Zum Beispiel lassen sich zu bestimmten partiellen Differentialgleichungen die Lösungen nur in bestimmten Sobolev-Räumen finden und nicht immer in [mm] $H^m=H^{m,2}$.
[/mm]
Gruss
Matthias
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Hallo, danke für die Antwort. Noch eine Frage dazu. Was genau meinst du mit Regularität?
Mittlerweile habe ich auch festgestellt, dass der Funktionraum, ja auch nur so vollständig wird und man außerdem die Sobolevfunktionen schön mit klassischen glatten Funktionen approximieren kann, was z.B. bei der Definition von Randwerten (Spursatz) hilft.
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Regularität bedeutet so etwas ähnliches wie ´Glattheit´. Zum Beispiel besitzt eine unendlich oft diffbare funktion im allgemeinen eine höhere regularität als eine nurmehr integrierbare. Oder eine Lipschitz-stetige funktion ist regulärer als eine ´nur´stetige.
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Vielen Dank. Denke über den Begriff der Regularität werde ich ohnehin bald stolpern.
Grüße Andre
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