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Sommerloch: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Fr 15.07.2011
Autor: fred97

Aufgabe
Es sei $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig , es $f [mm] \ge [/mm] 0$ auf [0,1] und es gelte

        [mm] $f(t)^2 \le \integral_{0}^{t}{f(s) ds}$ [/mm]   für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$.

Man zeige:

        $f(t) [mm] \le [/mm] 1+t$ für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$.


Gruß FRED mit der üblichen Bitte an die Mods.

        
Bezug
Sommerloch: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:56 Fr 15.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

ich versuchs mal.

Also wenn $f [mm] \equiv [/mm] 0$, dann ist die Sache klar, da $ 0 [mm] \leq [/mm] 1+t [mm] \; \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,1] $.

Sei jetzt $f$ nicht die Nullfunktion, dann besitzt $f$ aufgrund der Stetigkeit auf $[0,1]$ ein Maximum $M>0$ (wegen [mm] $f\geq [/mm] 0$) und nimmt dieses auch an, dass heißt, es existiert ein [mm] $t_{1} \in [/mm] (0,1] $ sodass [mm] $f(t_{1})=M$. [/mm]

Die Null kann für [mm] $t_{1}$ [/mm] ausgeschlossen werden, da gilt [mm] $f(0)^2 \leq \integral_{0}^{0}{f(s) ds}=0$ [/mm] also $f(0)=0$. $f$ wäre dann die Nullfunktion wegen $f [mm] \geq [/mm] 0$

Angenommen es existiert ein [mm] $t_{0} \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $f(t_{0})>1+t_{0}$, [/mm] dann folgt, [mm] $M=\max_{t \in [0,1]}{f(t)}>1$. [/mm]

Also gilt [mm] $1
Also ist M<M, ein Widerspruch.

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 Fr 15.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> Also wenn [mm]f \equiv 0[/mm], dann ist die Sache klar, da [mm]0 \leq 1+t \; \forall t \in [0,1] [/mm].
>
> Sei jetzt [mm]f[/mm] nicht die Nullfunktion, dann besitzt [mm]f[/mm] aufgrund
> der Stetigkeit auf [mm][0,1][/mm] ein Maximum [mm]M>0[/mm] (wegen [mm]f\geq 0[/mm])
> und nimmt dieses auch an, dass heißt, es existiert ein
> [mm]t_{1} \in (0,1][/mm] sodass [mm]f(t_{1})=M[/mm].
>
> Die Null kann für [mm]t_{1}[/mm] ausgeschlossen werden, da gilt
> [mm]f(0)^2 \leq \integral_{0}^{0}{f(s) ds}=0[/mm] also [mm]f(0)=0[/mm]. [mm]f[/mm]
> wäre dann die Nullfunktion wegen [mm]f \geq 0[/mm]
>  
> Angenommen es existiert ein [mm]t_{0} \in [0,1][/mm] mit
> [mm]f(t_{0})>1+t_{0}[/mm], dann folgt, [mm]M=\max_{t \in [0,1]}{f(t)}>1[/mm].
>  
> Also gilt [mm]1
>  
> Also ist M<M, ein Widerspruch.

sieht fuer mich richtig aus. Aber wuerde man damit nicht gleich zeigen, dass $f(t) [mm] \le [/mm] 1$ gilt fuer $t [mm] \in [/mm] [0, 1]$? Sobald $f(t) > 1$ waer fuer ein $t [mm] \in [/mm] [0, 1]$, waer auch $M = [mm] \max_{x\in[0,1]} [/mm] f(x) > 1$ und man koennte dein Argument genauso verwenden.

LG Felix


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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:56 Sa 16.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

ja das ist dasselbe, denk ich mal

Viele Grüße
Blasco

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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Sa 16.07.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ja das ist dasselbe, denk ich mal

Hallo Blasco, hallo Felix,

Blasco hat die Aufgabe prima gelöst und es ist f [mm] \le [/mm] 1 auf [0,1].

Allerdings habe ich einen Fehler in der Aufgabenstellung gemacht, dafür entschuldige ich mich und werde am Montag die richtige Aufgabenstellung nachliefern (was ich momentan nicht kann, weil ich an einem anderen Rechner sitze als sonst)

Gruß FRED

>  
> Viele Grüße
>  Blasco


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Sommerloch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Sa 16.07.2011
Autor: ullim

Hi,

Sei [mm] F(t)=\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] dann gilt wegen [mm] f\ge{0} [/mm] auf [0,1] auch

[mm] F\ge{0} [/mm] und [mm] F'\ge{0} [/mm] also F monoton wachsend auf [0,1]

Es gilt weiter nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung

[mm] F(t)=t*f(\tau) [/mm] für ein [mm] \tau\in[0,t] [/mm] also [mm] F^2(t)=t^2*f^2(\tau)\le t^2*F(\tau)\le t^2*F(t) [/mm] also

[mm] F(t)*\left(F(t)-t^2\right)\le{0} [/mm] also [mm] F(t)\le t^2 [/mm] wegen [mm] F\ge{0} [/mm]

Außerdem gilt

[mm] f^2(t)\le F(t)=t*f(\tau)\le t*\wurzel{F(\tau)}\le t*\wurzel{F(t)}\le t^2 [/mm]

also [mm] f(t)\le{t} [/mm]

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Sommerloch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 So 12.02.2012
Autor: felixf

Moin,

um das ganze mal zu einem Abschluss zu bringen:

> Sei [mm]F(t)=\integral_{0}^{t}{f(s) ds}[/mm] dann gilt wegen [mm]f\ge{0}[/mm]
> auf [0,1] auch
>  
> [mm]F\ge{0}[/mm] und [mm]F'\ge{0}[/mm] also F monoton wachsend auf [0,1]
>  
> Es gilt weiter nach dem Mittelwertsatz der
> Integralrechnung
>  
> [mm]F(t)=t*f(\tau)[/mm] für ein [mm]\tau\in[0,t][/mm] also
> [mm]F^2(t)=t^2*f^2(\tau)\le t^2*F(\tau)\le t^2*F(t)[/mm] also
>  
> [mm]F(t)*\left(F(t)-t^2\right)\le{0}[/mm] also [mm]F(t)\le t^2[/mm] wegen
> [mm]F\ge{0}[/mm]
>  
> Außerdem gilt
>  
> [mm]f^2(t)\le F(t)=t*f(\tau)\le t*\wurzel{F(\tau)}\le t*\wurzel{F(t)}\le t^2[/mm]
>  
> also [mm]f(t)\le{t}[/mm]  

Sieht gut aus, ich kann keinen Fehler entdecken.

LG Felix



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Sommerloch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 16.07.2011
Autor: fred97

So, hier ist die Aufgabe, wie sie eigentlich gemeint war:

Es sei $ f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ stetig , es $ f [mm] \ge [/mm] 0 $ auf [0,1] und es gelte

        $ [mm] f(t)^2 \le 1+2*\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] $   für alle $ t [mm] \in [/mm] [0,1] $.

Man zeige:

        $ f(t) [mm] \le [/mm] 1+t $ für alle $ t [mm] \in [/mm] [0,1] $.

FRED

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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Mo 18.07.2011
Autor: fred97


> So, hier ist die Aufgabe, wie sie eigentlich gemeint war:
>  
> Es sei [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] stetig , es [mm]f \ge 0[/mm] auf [0,1] und es
> gelte
>  
> [mm]f(t)^2 \le 1+2*\integral_{0}^{t}{f(s) ds}[/mm]   für alle [mm]t \in [0,1] [/mm].
>  
> Man zeige:
>  
> [mm]f(t) \le 1+t[/mm] für alle [mm]t \in [0,1] [/mm].
>
> FRED




Ist ein Hinweis erwünscht ?

FRED



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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Mo 18.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

also ich nehm einen.^^

Viele Grüße
Blasco

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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Mo 18.07.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> also ich nehm einen.^^
>  
> Viele Grüße
>  Blasco


Hallo Blasco,

setze   $ g(t)= [mm] 1+2\cdot{}\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] $  und $h(t)= [mm] \wurzel{g(t)}$ [/mm]  für $t [mm] \in [/mm] [0,1]$.

Differenziere g und zeige (mit dem Hauptsatz der Diff. - und Integralrechnung):

                 $h(t)-1 [mm] \le [/mm] t$

Gruß FRED





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Sommerloch: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:59 Mo 18.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

der Hinweis war wirklich hilfreich.

Also setze [mm] $g(t)=1+2\cdot \int_{0}^{t} [/mm] f(s) ds$ und [mm] $h(t)=\sqrt{g(t)}$. [/mm] Dann gilt $h(0)=1$.

Weiter ist $ [mm] g'(t)=2\cdot [/mm] f(t) $, also ist [mm] h'(t)=\frac{g'(t)}{2\cdot \sqrt{g(t)}}=\frac{f(t)}{\sqrt{g(t)}}. [/mm]

Es ist also [mm] $h(t)-1=\int_{0}^{t} [/mm] h'(s) ds =  [mm] \int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} [/mm] ds $.

Da für $a,b [mm] \geq [/mm] 0$ gilt $a [mm] \leq [/mm] b [mm] \gdw a^2 \leq b^2$, [/mm] folgt aus $ [mm] f(t)^2 \le 1+2\cdot{}\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] $ das $f(t) [mm] \leq \sqrt{g(t)}$. [/mm]

Also ist [mm] $h(t)-1=\int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} [/mm] ds [mm] \leq \int_{0}^{t} [/mm]  1 ds =t $

Das ist die Behauptung

Viele Grüße
Blasco

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Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Mo 18.07.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> der Hinweis war wirklich hilfreich.
>  
> Also setze [mm]g(t)=1+2\cdot \int_{0}^{t} f(s) ds[/mm] und
> [mm]h(t)=\sqrt{g(t)}[/mm]. Dann gilt [mm]h(0)=1[/mm].
>
> Weiter ist [mm]g'(t)=2\cdot f(t) [/mm], also ist
> [mm]h'(t)=\frac{g'(t)}{2\cdot \sqrt{g(t)}}=\frac{f(t)}{\sqrt{g(t)}}.[/mm]
>  
> Es ist also [mm]h(t)-1=\int_{0}^{t} h'(s) ds = \int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} ds [/mm].
>  
> Da für [mm]a,b \geq 0[/mm] gilt [mm]a \leq b \gdw a^2 \leq b^2[/mm], folgt
> aus [mm]f(t)^2 \le 1+2\cdot{}\integral_{0}^{t}{f(s) ds}[/mm] das
> [mm]f(t) \leq \sqrt{g(t)}[/mm].
>  
> Also ist [mm]h(t)-1=\int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} ds \leq \int_{0}^{t} 1 ds =t[/mm]
>  
> Das ist die Behauptung

Prima gemacht

FRED

>  
> Viele Grüße
>  Blasco


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