Sonderfälle chi quadrat < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Mi 06.11.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Sonderfälle:
n=1: [mm] X_{1}^{2} [/mm] = [mm] Z^{2} [/mm] mit N(0, 1)-verteiltem Z
[mm] n=2:X_{2}^{2} [/mm] ist exponential verteilt mit Parameter [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo,
bei den beiden Sonderfällen oben geht es um die Sonderfälle der Chi-Quadrat-Verteilung.
Ich möchte wissen ob ich diese Sonderfälle beweisen kann. Und wenn ja: Wie??
Weiß leider nicht wo ich anfangen sollte bei den Beweisen.
Wäre supi wenn mir jemand paar Tipps geben könnte.
Danke
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> Sonderfälle:
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> n=1: [mm]X_{1}^{2}[/mm] = [mm]Z^{2}[/mm] mit N(0, 1)-verteiltem Z
> [mm]n=2:X_{2}^{2}[/mm] ist exponential verteilt mit Parameter
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Hallo,
>
> bei den beiden Sonderfällen oben geht es um die
> Sonderfälle der Chi-Quadrat-Verteilung.
>
> Ich möchte wissen ob ich diese Sonderfälle beweisen kann.
> Und wenn ja: Wie??
>
> Weiß leider nicht wo ich anfangen sollte bei den
> Beweisen.
>
> Wäre supi wenn mir jemand paar Tipps geben könnte.
Für [mm]n=1[/mm] ist das doch direkte Konsequenz der Definition der [mm]\chi^2[/mm]-Verteilung.
Wie ist denn [mm]\chi_1^2[/mm] gem. Definition verteilt?
Für [mm]n=2[/mm] ist [mm]\chi_2\sim Z_1^2+Z_2^2[/mm], wobei [mm]Z_1,Z_2[/mm] unabängig standardnormalverteilt sind, also [mm]Z_1,Z_2\sim\mathcal N(0,1)[/mm]
Wenn du eine ZV [mm]X[/mm] hast, die [mm]\mathcal N(0,1)[/mm]-verteilt ist, wie ist dann [mm]X^2[/mm] verteilt? Und wie dann die Summe zweier solcher ZVen [mm]X^2+Y^2[/mm]?
Dichtetrafo oder VF ausrechnen .... oder Faltung
>
> Danke
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 07.11.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke schachuzipus,
zunächst zu n=1:
Für n=1 gilt:
Laut Def.:
[mm] X=Z_{1}^{2}=\summe_{i=1}^{1} Z_{i}^{2}
[/mm]
[Frage: Was soll ich nun damit anfangen? Soll ich für Z etwas einsetzen?]
Also hat diese [mm] \chi^{2}-Verteilung [/mm] einen Freiheitsgrad, da n=1.
Nach Def. sieht die Verteilungsfunktion F für n=1 wie folgt aus:
[mm] F(x)=P(Z_{1}^{2} \le [/mm] x)
[Frage: Was fange ich hiermit an? Soll ich für Z und x etwas einsetzen?]
Tut mir leid aber ich checks einfach nicht :-(. Wäre supi wenn mir das jemand genauer erklären könnte.
Für n=1 gilt ja, dass [mm] X_{1}^{2}=Z^{2} [/mm] mit N(0, 1)-verteiltem Z.
ich verstehe nicht warum da steht [mm] X_{1}^{2}??? [/mm] Nach meiner Definition ist es so:
Definition:
Es seien [mm] Z_{1}, [/mm] ..., [mm] Z_{n} [/mm] stochastisch unabhängige, sandardnormalverteilte Zufallsgrößen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
[mm] X=Z_{1}^{2} [/mm] + ... + [mm] Z_{n}^{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} Z_{i}^{2}
[/mm]
heißt [mm] \chi^{2}-Verteilung [/mm] mit n Freiheitsgraden.
Die Verteilungsfunktion F sieht wie folgt aus:
[mm] F(x)=P(Z_{1}^{2} [/mm] + ... + [mm] Z_{n}^{2} \ge [/mm] x) x [mm] \in \IR
[/mm]
Also ich verstehe dass diese [mm] \chi^{2}-Verteilung [/mm] sozusagen eine "Motation" der Normalverteilung ist. Die Zufallsvariablen sollen stochastisch unabh. und standardnormalverteilt sein.
dann quadriert man diese Zufallsvariablen und bildet dann daraus die Summe.
Aber was bringt mir das???
danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo nochmal,
kurz zu 1), muss weg ..
> Danke schachuzipus,
>
> zunächst zu n=1:
>
> Für n=1 gilt:
>
> Laut Def.:
>
> [mm]X=Z_{1}^{2}=\summe_{i=1}^{1} Z_{i}^{2}[/mm]
Ja, die Summe lass mal weg. Und lt. Definition ist [mm] $Z_1$ [/mm] doch [mm] $\matcal [/mm] N(0,1)$-verteilt
Fertig
>
> [Frage: Was soll ich nun damit anfangen? Soll ich für Z
> etwas einsetzen?]
>
> Also hat diese [mm]\chi^{2}-Verteilung[/mm] einen Freiheitsgrad, da
> n=1.
>
> Nach Def. sieht die Verteilungsfunktion F für n=1 wie
> folgt aus:
Brauchst du nicht, diesen Fall gibt allein die Definition her ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
zu 2.)
Der Transformationssatz für Dichten ist hier sehr hilfreich.
Vllt. hattet ihr Folgendes auch schon in den Vorlesungen:
(I) Ist [mm]X\sim\mathcal N(0,\sigma^2)[/mm], so ist [mm]X^2\sim\Gamma(2\sigma^2,1/2)[/mm]
(II) Sind [mm]Y,Z[/mm] unabh. und [mm]\Gamma(a,b), \Gamma(a,c)[/mm]-verteilt, so ist [mm]Y+Z[/mm] verteilt nach [mm]\Gamma(a,b+c)[/mm]
Wenn du das schon kennst, wende es auf [mm]\chi_2^2\sim Z_1^2+Z_2^2[/mm] mit [mm]Z_1,Z_2\sim \mathcal N(0,1)[/mm] an.
Wenn nicht, rechne (I) mit dem Trafosatz für Dichten nach, (II) mit dem Faltungssatz
Heraus kommt, dass [mm]\chi_2^2\sim\Gamma(2,1)[/mm] ist.
Schreibe die zugeh. Dichtefunktion mal hin und du siehst, dass es dieselbe ist wie für die Exponentialverteilung mit Parameter [mm]\lambda=1/2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Also ich hab keine Ahnung aber ich habs mal so jetzt probiert... vllt stimmt der beweis ja?!
Also:
Sonderfall für n=2 : [mm] X_{2}^{2} [/mm] ist exponentialverteilt mit Parameter [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Beweis:
Sei
N:= [mm] f_{\lambda}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \le 0 \\ \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x > 0 \end{cases}
[/mm]
und
T:=f(x)= [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \le 0 \\ K_{n} \cdot x^{\bruch{n-2}{2}} \cdot e^{-\bruch{x}{2}}, & \mbox{falls } x > 0 \end{cases}
[/mm]
mit [mm] K_{n}=\bruch{1}{2^{\bruch{n}{2}} \Gamma(\bruch{n}{2})}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n=2 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 [mm] \wedge \lambda=\bruch{1}{2} [/mm] gilt:
[mm] N=f_{\bruch{1}{2}}(x)=0
[/mm]
und
T=f(x)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] N=T=0 [mm] \surd
[/mm]
Desweiteren gilt [mm] \forall [/mm] n=2 [mm] \wedge [/mm] x > 0 [mm] \wedge \lambda=\bruch{1}{2}:
[/mm]
[mm] N=f_{\bruch{1}{2}}(x)=\bruch{1}{2} \cdot e^{-\bruch{1}{2}x}
[/mm]
und
[mm] T=f(x)=K_{2} \cdot x^{\bruch{2-2}{2}} \cdot e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{2}{2}}\Gamma(\bruch{2}{2})} \cdot x^{\bruch{0}{2}} \cdot e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{1} \Gamma(1)} \cdot x^{0} \cdot e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \cdot 1} \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot e^{-\bruch{1}{2}x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow N=T=\bruch{1}{2} e^{-\bruch{1}{2}x} \surd
[/mm]
q.e.d.
Das sollte doch jetzt bewiesen sein oder???
Ich hab doch gezeigt, dass die Dichte die selbe ist. Muss ich das jetzt noch mit der Verteilungsfunktion auch zeigen???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 12.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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