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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Sa 31.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Sei A = [mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 5 & 7 & 6 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{bmatrix} [/mm] und b = [mm] \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}
[/mm]
Beschreibe den Spaltenraum von A auf zwei verschiedene Weisen, einmal mit Hilfe der Pivot-Spalten, einmal mit Hilfe des Lösbarkeitsbedingung. |
Hallo,
Um auf die Pivot-Spalten zu kommen, forme ich die Ausgansmatrix in die Zeilenstufenform um und erhalte dabei auch gleich die Lösbarkeitsbedingung:
[mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 & b_1 \\
2 & 5 & 7 & 6 & b_2 \\
2 & 3 & 5 & 2 & b_3
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 & b_1 \\
0 & 1 & 1 & 2 & b_2 - b_1 \\
0 & -1 & -1 & -2 & b_3 - b_1
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 & b_1 \\
0 & 1 & 1 & 2 & b_2 - b_1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b_3 - 2b_1 + b_2
\end{bmatrix}
[/mm]
Wenn also [mm] b_3 [/mm] - [mm] 2b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] = 0 ist, dann ist das System lösbar.
Pivot-Spalten:
Der Spaltenraum von C(A) = [mm] \left( c \cdot{} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} | c,d \in \IR \right)
[/mm]
Lösbarkeitsbedingung:
[mm] \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} [/mm] = 0
Somit ist das Pivotelement -2 und die freien Variablen sind [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3, [/mm] somit ergibt sich für den Spaltenraum:
C(A) = [mm] \left( s \cdot{} \begin{bmatrix} \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} | s,t \in \IR \right)
[/mm]
Die beiden Spaltenräume müsste doch beide gleich sein, jede Matrix kann ja nur einen solchen Unterraum haben. Sind diese gleich oder stimmt meine Lösung nicht?
Gruß
itse
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> Sei A = [mm]\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 5 & 7 & 6 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}[/mm]
> und b = [mm]\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Beschreibe den Spaltenraum von A auf zwei verschiedene
> Weisen, einmal mit Hilfe der Pivot-Spalten, einmal mit
> Hilfe des Lösbarkeitsbedingung.
> Hallo,
>
> Um auf die Pivot-Spalten zu kommen, forme ich die
> Ausgansmatrix in die Zeilenstufenform um und erhalte dabei
> auch gleich die Lösbarkeitsbedingung:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 & b_1 \\
2 & 5 & 7 & 6 & b_2 \\
2 & 3 & 5 & 2 & b_3
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 & b_1 \\
0 & 1 & 1 & 2 & b_2 - b_1 \\
0 & -1 & -1 & -2 & b_3 - b_1
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 4 & b_1 \\
0 & 1 & 1 & 2 & b_2 - b_1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b_3 - 2b_1 + b_2
\end{bmatrix}[/mm]
>
>
> Wenn also [mm]b_3[/mm] - [mm]2b_1[/mm] + [mm]b_2[/mm] = 0 ist, dann ist das System
> lösbar.
Ja.
>
> Pivot-Spalten:
>
> Der Spaltenraum von C(A) = [mm]\left( c \cdot{} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} | c,d \in \IR \right)[/mm]
Das ist nicht richtig. Du hast die Pivotelemente in der 1. und 2. Spalte. Damit sind Deine Pivotspalten die 1. und 2. Spalte der ursprünglichen Matrix.
Daß Deine Lösung nicht stimmen kann, siehst Du daran, daß in diesem Raum der Vektor [mm] \vektor{2\\2\\2} [/mm] überhaupt nicht drin wäre.
>
> Lösbarkeitsbedingung:
>
>
> [mm]\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}[/mm]
> = 0
>
> Somit ist das Pivotelement -2 und die freien Variablen sind
> [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3,[/mm] somit ergibt sich für den Spaltenraum:
>
> C(A) = [mm]\left( s \cdot{} \begin{bmatrix} \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} | s,t \in \IR \right)[/mm]
Ja.
>
>
> Die beiden Spaltenräume müsste doch beide gleich sein,
Ja.
Und jetzt sind sie's auch.
Gruß v. Angela
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