Span, Aufspann, Spann < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Fr 12.02.2010 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zwei Basen von [mm] U1 = span(\vec a_1; \vec a_2;\vec a_3;\vec a_4)[/mm]
[mm] \vec a_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec a_2 = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\\1\end{pmatrix},\vec a_3 = \begin{pmatrix}-3\\0\\3\\-2\end{pmatrix},\vec a_4 = \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\1\end{pmatrix}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Wenn ich die jetzt "aufspanne" (ich weiß nciht, ob man die Aktion so nennt) bekomme ich die Matrix [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\2 & 1 & -1 & 1\\-2 & 1 & -1 & 1\\ -3 & 0 & 3 & -2 \\1 & -1 & -2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
Jenes löse ich jetzt auf und erhalte dann als Lösung [mm]\vec x = s\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\\0\\1\end{pmatrix} [/mm]
Sind dann hiermit 2 Basen beispielsweise -->[mm] \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\end{pmatrix}[/mm] und[mm]\begin{pmatrix}-4\\2\\0\\6\end{pmatrix}[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Fr 12.02.2010 | | Autor: | kalkulator |
sorry dass das so lange gedauert hat,
Hatte entweder technische Probeleme oder war zu doof, das Mitteilungsfenster wieder zu finden, in dem ich diese Antwort tippe...
Ohne die Aufgabe tiefergehend betrachtet zu haben: Die vier Vektoren können nicht nur
eine einzige Dimension aufspannen, also kann als Lösung nicht nur das Vielfache eines einzigen Vektors herauskommen.
Wenn nur das Vielfache eines Vektors die Lösung bilden würde, so wären alle in der Aufgabe gegebenen Vektoren paarweise linear abhängig, d.h. alle nur Vielfache aller anderen. das ist offensichtlich nicht so. als Lösungsansatz ist sicher die Frage nach linearer Abhängigkeit zu stellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 12.02.2010 | | Autor: | Reen1205 |
Habe gerade herausgefunden, dass ich mich verrechnet habe.
Lösung der Matrix ist [mm]\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & -3 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
So und nun ist eine Basis [mm] \{\begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] und [mm]\begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\1\end{pmatrix}\}[/mm]
Kann jetzt eine weitere auch [mm] \{\begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix}[/mm] und [mm]\begin{pmatrix}0\\3\\3\\-1\end{pmatrix}\}[/mm] sein?
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> Habe gerade herausgefunden, dass ich mich verrechnet habe.
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> Lösung der Matrix ist [mm]\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & -3 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
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> So und nun ist eine Basis
> [mm]\{\begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\1\end{pmatrix}\}[/mm]
>
> Kann jetzt eine weitere auch
> [mm]\{\begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix}0\\3\\3\\-1\end{pmatrix}\}[/mm] sein?
Also bei mir bleiben nach Anwendung des Gauss- Algorithmus drei linear unabhängige Vektoren als Basis übrig. Die zwei von Dir angegebenen sind auch dabei. Sobald Du eine Basis $u,v,w$ hast, ist natürlich auch jede andere Zusammenstellung $k_1u,k_2v,k_3w$, [mm] $k_i\in \mathbbm [/mm] R , [mm] k_i\neq [/mm] 0$, [mm] $i\in\{1,2,3\}$
[/mm]
eine Basis.
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