Span und linear unabh. Vektore < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Di 13.12.2005 | | Autor: | soulid |
hallo zusammen,
ich habe diese frage in keinem anderem forum gestellt
ich habe hier eine aufgabe mit der ich nicht so richtig klar komme:
Es seien [mm] v_{1}... v_{n} [/mm] linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum V und die Vektoren
[mm] w_{j}= \summe_{k=1}^{n} a_{jk} v_{k} \in [/mm] span [mm] (v_{1}... v_{n})(a_{jk} \in [/mm] K; J=1,..,n) seien ebenfalls linear unabhängig.
a) sei u [mm] \in [/mm] V \ [mm] span(v_{1}... v_{n}). [/mm] Zeige, dass [mm] v_{1}... v_{n},u [/mm] auch linear unabhängig sind
b) Zeige, daß es ein i gibt mit [mm] a_{i1} \not=0. [/mm] Nach Umbenennung darf [mm] a_{11}\not=0 [/mm] angenommen werden. Berechne [mm] v_{1} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] w_{1},v_{1}... v_{n}.
[/mm]
c)zeige, daß die Vektoren [mm] a_{11} w_{2}-a_{21} w_{1}, a_{11} w_{3}-a_{31} w_{1},..., a_{11} w_{n}-a_{n1} w_{1} [/mm] linear unabhängig sind.
kann mir jemand beim lösen helfen?
mfg soulid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Di 13.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo soulid!
Bitte keine Doppelpostings hier innerhalb des MatheRaum's einstellen (ich habe daher Deine andere Frage gelöscht).
Gruß
Loddar
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> ich habe hier eine aufgabe mit der ich nicht so richtig
> klar komme:
Hallo,
würdest Du doch verraten, wo das Problem liegt... (Forenregeln)
> Es seien [mm]v_{1}... v_{n}[/mm] linear unabhängige Vektoren in
> einem K-Vektorraum V und die Vektoren
> [mm]w_{j}= \summe_{k=1}^{n} a_{jk} v_{k} \in[/mm] span [mm](v_{1}... v_{n})(a_{jk} \in[/mm]
> K; J=1,..,n) seien ebenfalls linear unabhängig.
> a) sei u [mm]\in[/mm] V \ [mm]span(v_{1}... v_{n}).[/mm] Zeige, dass
> [mm]v_{1}... v_{n},u[/mm] auch linear unabhängig sind
Überleg' Dir, wie die Elemente aus dem Span aussehen.
Und wie sehen die aus, die in V, aber nicht im Span liegen?
> b) Zeige, daß es ein i gibt mit [mm]a_{i1} \not=0.[/mm]
Was wäre, wenn alle ai1=0 wären?
Nach
> Umbenennung darf [mm]a_{11}\not=0[/mm] angenommen werden. Berechne
> [mm]v_{1}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]w_{1},v_{1}... v_{n}.[/mm]
Soll es vielleicht "Abhängigkeit von [mm]w_{1},v_{2}... v_{n}.[/mm]" heißen?
Die Aufgabe ist, [mm] v_1 [/mm] zu eliminieren.
> c)zeige,
> daß die Vektoren [mm]a_{11} w_{2}-a_{21} w_{1}, a_{11} w_{3}-a_{31} w_{1},..., a_{11} w_{n}-a_{n1} w_{1}[/mm]
> linear unabhängig sind.
Nimm an, daß eine Linearkombination =0 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 14.12.2005 | | Autor: | soulid |
bei a) liegt mein problem darin, dass ich zwar weiß, dass die Menge der Vektoren [mm] v_{1}...v_{n} [/mm] eine basis bilden und im Vektorraum V eine bestimmte Fläche aufspannen und eben die Vektoren u auch in diesem Vektorraum liegen, aber nicht die selbe Fläche aufspannen wie die v-Vektoren. aber ich weiß einfach nicht, wie das darstellen kann, da mir die notation wohl immer ein Rätsel bleiben wird.
und zu
c) das sieht mir ganz nach nem Kreuzprodukt zwischen einer Matrix und einem Vektor aus, liege ich da vielleicht richtig.
mfg
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> bei a) liegt mein problem darin, dass ich zwar weiß, dass
> die Menge der Vektoren [mm]v_{1}...v_{n}[/mm] eine basis bilden und
> im Vektorraum V eine bestimmte Fläche aufspannen und eben
> die Vektoren u auch in diesem Vektorraum liegen, aber nicht
> die selbe Fläche aufspannen wie die v-Vektoren. aber ich
> weiß einfach nicht, wie das darstellen kann, da mir die
> notation wohl immer ein Rätsel bleiben wird.
Hallo,
was Du mit "die Notation" meinst, weiß ich leider nicht. [mm] Span(v_1,...v_n)? [/mm] Das ist die Menge aller Linearkombinationen der [mm] v_1,....v_n, [/mm] oft schreibt man auch [mm] .
[/mm]
Du kannst nun diese [mm] v_i [/mm] duch Vektoren [mm] u_1,...u_k [/mm] zu einer Basis deines Vektorraumes ergänzen. (Basisergänzungssatz). Nun sollte Dir langsam dämmern, wie die Elemente des Vektorraumes aussehen, welche nicht im besagten Span liegen.
> und zu
> c) das sieht mir ganz nach nem Kreuzprodukt zwischen einer
> Matrix und einem Vektor aus, liege ich da vielleicht
> richtig.
Dieses Kreuzprodukt, von dem Du sprichst, kenne ich nicht.
Ich sehe da n-1 Vektoren, deren lineare Unabhängigkeit Du zeigen sollst.
Hast Du schon deine Linearkombination gebildet und =0 gesetzt?
Gruß v. Angela
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