Spatprodukt und Vektorprodukt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren:
[mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\vektor{3 \\ -1 \\ 4}
[/mm]
[mm] \vec{c}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Man berechne [mm] ((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*\vec{a}
[/mm]
Desweiteren berechne man das Volumen, das durch die Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] aufgespannt wird.
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ich hoffe ich hab das in den richtigen thread geschrieben.
meine lösung:
[mm] ((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*a [/mm] = [mm] \vektor{15 \\ 32 \\ 17}
[/mm]
und für das spatprodukt erhalte ich v=-4.
kann es sein dass als ergebniss ein minuswert herauskommt, aber das man alle ergebniss zum betrag nehmen muss also wäre das ergebnis v=4?
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> Gegeben seien die Vektoren:
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> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
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> [mm]\vec{b}=\vektor{3 \\ -1 \\ 4}[/mm]
>
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> [mm]\vec{c}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
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> Man berechne [mm]((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*\vec{a}[/mm]
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> Desweiteren berechne man das Volumen, das durch die
> Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] aufgespannt wird.
>
> ich hoffe ich hab das in den richtigen thread geschrieben.
>
> meine lösung:
>
> [mm]((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*a[/mm] = [mm]\vektor{15 \\ 32 \\ 17}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und zwar kann man dies ohne jede Rechnung sagen: denn das abschliessende Skalarprodukt mit [mm] $\vec{a}$ [/mm] muss einen Skalar liefern. Für diesen Skalar erhalten ich den Wert $64$.
Zur Kontrolle: ich habe folgende Zwischenergebnisse
[mm]\vec{a}\times\vec{b}=\pmat{9\\-1\\-7},\qquad (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\pmat{15\\16\\17}[/mm]
>
> und für das spatprodukt erhalte ich v=-4.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kann es sein dass als ergebniss ein minuswert herauskommt,
ja, wenn die Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] in dieser Reihenfolge ein Linkssystem bilden, dann ist das Spatprodukt [mm] $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=(\vec{a}\times\vec{c})\cdot \vec{c} [/mm] < 0$.
> aber das man alle ergebniss zum betrag nehmen muss also
> wäre das ergebnis v=4?
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> > Gegeben seien die Vektoren:
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> > [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
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> > [mm]\vec{b}=\vektor{3 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\vec{c}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
> >
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> >
> > [mm]((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*a[/mm] = [mm]\vektor{15 \\ 32 \\ 17}[/mm]
>
> und zwar kann man dies ohne jede Rechnung sagen:
> denn das abschliessende Skalarprodukt mit [mm]\vec{a}[/mm] muss
> einen Skalar liefern. Für diesen Skalar erhalten ich den
> Wert [mm]64[/mm].
> Zur Kontrolle: ich habe folgende Zwischenergebnisse
>
> [mm]\vec{a}\times\vec{b}=\pmat{9\\-1\\-7},\qquad (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\pmat{15\\16\\17}[/mm]
>
diese werte hab ich auch raus:
ich glaub meine lösung ist nicht falsch, sondern dann nur nich vollständig zu ende gerechnet, ich müsste dann weiter rechnen:
[mm] ((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*\vec{a}=\vektor{15 \\ 16 \\ 17} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}=\vektor{15 \\ 32 \\ 17}=15+32+17= [/mm] 64
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> > > Gegeben seien die Vektoren:
> > >
> > > [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]\vec{b}=\vektor{3 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]\vec{c}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
> > >
> > >
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> > >
> > > [mm]((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*a[/mm] = [mm]\vektor{15 \\ 32 \\ 17}[/mm]
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> >
> > und zwar kann man dies ohne jede Rechnung sagen:
> > denn das abschliessende Skalarprodukt mit [mm]\vec{a}[/mm] muss
> > einen Skalar liefern. Für diesen Skalar erhalten ich den
> > Wert [mm]64[/mm].
> > Zur Kontrolle: ich habe folgende Zwischenergebnisse
> >
> > [mm]\vec{a}\times\vec{b}=\pmat{9\\-1\\-7},\qquad (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\pmat{15\\16\\17}[/mm]
>
> >
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>
> diese werte hab ich auch raus:
>
> ich glaub meine lösung ist nicht falsch, sondern dann nur
> nich vollständig zu ende gerechnet, ich müsste dann weiter
> rechnen:
>
> [mm]((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c})*\vec{a}=\vektor{15 \\ 16 \\ 17}[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}=\vektor{15 \\ 32 \\ 17}=15+32+17=[/mm]
> 64
Aha, ich verstehe. Nur ist Deine Schreibweise
[mm]\vektor{15 \\ 32 \\ 17}[/mm]
für die Summe $15+32+17$ leider gänzlich unüblich, so dass ich Dir ernsthaft von deren Verwendung abraten muss. Ein Skalar ist einfach beim besten Willen kein Vektor und sollte deshalb nicht wie ein Vektor geschrieben werden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Fr 01.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok alles klar, werd ich mir merken, thx.
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